{etRating 4}
Le intersezioni delle rette
[math]y=2/3x , y=-2/3x[/math]
con l'ellisse generica [math]x^2/(a^2) + y^2/(b^2) = 1[/math]
determinano un rettangolo il cui perimetro misura 20. Scrivere l'equazione dell'ellisse sapendo che passa per il punto [math]A(4,-1)[/math]
e l'equazione della tangente in [math]A[/math]
. Le intersezioni dell'ellisse con la retta
[math]y=2/3 x[/math]
fornisce i due punti di coordinate
[math]E=((3ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2}),(2ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2}))[/math]
[math]B=(-(3ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2}),-(2ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2}))[/math]
mentre le intersezioni dell'ellisse con la retta [math]y=-2/3 x[/math]
fornisce i due punti di coordinate
[math]C=((3ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2}),-(2ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2})), D=(-(3ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2}),+(2ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2}))[/math]
.
Il perimetro
[math]2p=2EC+2CB[/math]
con [math]EC=|(4ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2})|[/math]
e [math]CB=|(6ab)/(\sqrt{4a^2+9b^2})|[/math]
per cui [math]2p=(20|ab|)/(\sqrt{4a^2+9b^2})[/math]
.
Imponendo [math]2p=20[/math]
si ricava la condizione
[math]4a^2+9b^2-a^2b^2=0[/math]
. Inoltre il passaggio per [math] A(4,-1)[/math]
comporta
[math]16b^2+a^2-a^2b^2=0[/math]
.
Bisogna dunque risolvere il sistema
[math]\begin{cases} 4a^2+9b^2-a^2b^2=0 \\ 16b^2+a^2-a^2b^2=0 \ \end{cases}[/math]
che risolto fornisce [math]\begin{cases} a^2=55/3 \\ b^2=55/7 \ \end{cases}[/math]
Per cui l'ellisse ha equazione [math](3/55)x^2+(7/55)y^2=1[/math]
La retta passante per [math]A(4,-1)[/math]
ha equazione [math]y=mx-4m-1[/math]
(equazione del fascio). Intersecando la retta con l'equazione dell'ellisse si ha
[math]3x^2+7(mx-4m-1)^2-55=0[/math]
da cui, svolgendo i conti e ordinando,
[math]x^2(3+7m^2)-14x(m+4m^2)+(112m^2+56m-48)=0[/math]
ed imponendo [math]Delta=0[/math]
(condizione di tangenza) si ha
[math]49(16m^4+8m^3+m^2)-(3+7m^2)(112m^2+56m-48)=0[/math]
da cui
[math]49m^2-168m+144=(7m-12)^2=0[/math]
e quindi, risolvendo, [math]m=12/7[/math]
da cui la tangente ha equazione
[math]y=12/7 x-55/7[/math]
FINE
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