Deteminare per quali valori del parametro
[math]m[/math]
la retta [math]y=x+m[/math]
stacca sulla circonferenza
[math]x^2+y^2-2x+4y-4=0[/math]
una corda la cui lunghezza è [math]3\sqrt2[/math]
Per trovare le intersezioni è necessario risolvere il sistema
[math]\begin{cases} y=x+m \\ x^2+y^2-2x+4y-4=0 \ \end{cases}[/math]
Sostituiamo
[math]y=x+m[/math]
nell'equazione della circonferenza ottenendo:
[math]x^2+(x+m)^2-2x+4(x+m)-4=0[/math]
da cui
[math]2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0[/math]
Ora affinchè ci siano due punti in comune tra la retta
[math]y=x+m[/math]
e la circonferenza si dovrà avere che il determinante dell'equazione [math]2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0[/math]
sia maggiore di zero, cioè:
[math](m+1)^2-2(m^2+4m-4)>0[/math]
cioè [math]m^2+6m-9 cioè
[math]-3(1+\sqrt{2}).
Mostreremo che le soluzioni che troveremo in seguito rispettano questa condizione.
Ricaviamo ora le ascisse dei due punti dall'equazione
[math]2x^2+2x(m+1)+m^2+4m-4=0[/math]
. Troviamo:
[math]x_1=(-(m+1)+\sqrt{9-m^2-6m})/2[/math]
e
[math]x2=(-(m+1)-\sqrt{9-m^2-6m})/2[/math]
da cui
[math]y_1=[(m-1)+\sqrt{9-m^2-6m}]/2[/math]
e
[math]y_2=[(m-1)-\sqrt{9-m^2-6m}]/2[/math]
Calcoliamo ora la distanza al quadrato:
[math]d^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=[\sqrt{9-m^2-6m}]^2+[\sqrt{9-m^2-6m}]^2=2 \cdot {9-m^2-6m}[/math]
Imponendo che
[math]d^2=(3\sqrt{2})^2=18[/math]
si trova:
[math]18-2(m^2+6m)=18[/math]
da cui [math](m^2+6m)=0[/math]
e cioè [math]m=0 U m=-6[/math]
e sono valori entrambi accettabili perchè rispettano la condizione su [math]m[/math]
.
Prova 1:
[math]m=0 ->y=x[/math]
che intersecata con la circonferenza dà :
[math]x_1=1[/math]
e [math]y_1=1[/math]
[math]x_2=-2[/math]
e [math]y2=-2[/math]
ed è facile vedere che la distanza è [math]3\sqrt2[/math]
Prova 2:
[math]m=-6->y=x-6[/math]
che intersecata con la circonferenza dà :
[math]x_1=4[/math]
e [math]y1=-2[/math]
,
[math]x_2=1[/math]
e [math]y_2=-5[/math]
e anche in tal caso è facile constatare che la distanza è [math]3\sqrt2[/math]
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