Dato il punto
[math]P(1,7)[/math]
trovare l'equazione delle rette passanti per esso e distanti 5 dall'origine. Per indicare che passano per il punto P(1;7) usiamo l'equazione del fascio:
[math]y-y_0=m(x-x_0)[/math]
e otterremo
[math]y=mx-m+7[/math]
ovvero
[math]mx-y+7-m=0[/math]
Per la distanza usiamo la formula:
[math]|ax_0+by_0+c|/\sqrt{a^2+b^2}[/math]
nel nostro caso abbiamo
[math]x_0=0[/math]
[math]y_0=0[/math]
[math]c=7-m[/math]
[math]a=m[/math]
[math]b=-1[/math]
Perciò sostituendo tali valori nella formula abbiamo
[math]|m-7|/\sqrt{m^2+1}=5 \cdot [/math]
ovvero
[math]|m-7|=5 \cdot \sqrt{m^2+1}[/math]
.
Ora se
[math]m>=7->|m-7|=m-7[/math]
per cui si ha
[math]m-7=5\sqrt{m^2+1}[/math]
da cui elevando al quadrato si ha:
[math]12m^2+7m-12=0->m=(-7+-25)/24->m_1=3/4,m_2=-4/3[/math]
che sono entrambi non accettabili perchè minori di [math]7[/math]
.
se
[math]m|m-7|=7-m[/math]
ed elevando al quadrato si ha
[math]12m^2+7m-12=0->m=(-7+-25)/24->m_1=3/4,m_2=-4/3[/math]
che sono ora entrambi accettabili. per cui le rette sono
[math]y=3/4x+25/4[/math]
[math]y=-4/3x+25/3[/math]
Volendo potevamo anche evitare la discussione del valore assoluto ed elevare al quadrato entrambi i membri, ma abbiamo preferito ripassare anche un po' di moduli.
FINE
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