Coniche come luoghi geometrici

Coniche come luoghi geometrici

Proposizione
Sia C una conica non degenere di E^2. Allora, ogni asse di C `e asse di simmetria per il supporto proprio IP(C). Inoltre: se C `e una conica a centro, il centro C `e centro di simmetria per il supporto proprio IP(C); se C `e una ellisse reale, ogni asse di C contiene due vertici. se C `e una iperbole, un asse di C (detto asse trasverso o asse focale) contiene due vertici, mentre l’altro asse (detto asse non trasverso) non interseca I(C).
Coniche come luoghi geometrici
Una ellisse reale `e il luogo geometrico dei punti del piano E^2
che hanno costante (uguale a 2a > 0) la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2, detti fuochi. In particolare, una circonferenza `e il luogo geometrico dei punti del piano E^2 che sono equidistanti dal suo centro C.
Una iperbole `e il luogo geometrico dei punti del piano E^2
che hanno costante (uguale a 2a > 0) la differenza - in valore assoluto - delle distanze da due punti fissi F1 e F2, detti fuochi.
Una parabola `e il luogo geometrico dei punti del piano E^2 che sono equidistanti da un punto fisso F, detto fuoco, e da una retta fissa δ, detta direttrice.
Fuochi di una conica
Corollario
I fuochi di una ellisse reale C appartengono all’asse di C in cui la distanza tra i vertici `e maggiore (detto asse maggiore o asse focale); inoltre la loro distanza dal centro di C `e √a2 − b2.
I fuochi di una iperbole C appartengono all’asse trasverso di C ed hanno distanza √a2 + b2 dal centro di C.
Sia C una parabola. I punti dell’asse di C a distanza p2dal vertice della
parabola sono il fuoco e il punto di intersezione della direttrice di C con
l’asse. Il fuoco `e il punto per il quale la retta ortogonale all’asse `e secante la parabola.