Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:
[math]x^2+y^2-6x-4\sqrt2y+1=0[/math]
Svolgimento
l'equazione della circonferenza di centro[math](x_0;y_0)[/math]
e di raggio [math]r[/math]
, sar:[math](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2[/math]
Sviluppandola si ha:[math]x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0=r^2[/math]
ponendo [math]-2x_0=\alpha[/math]
, [math]-2y_0=\beta[/math]
e [math]x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma[/math]
si ha[math]x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0[/math]
che rappressenta l'equazione normale o canonica della circonferenza. Il centro [math]C[/math]
della circonferenza rappresentata dall'equazione canonica si ricava dalle due relazioni:
[math]\begin{cases} -2x_0=\alpha \\ -2y_0=\beta \end{cases} => {(x_0=-(\alpha)/2),(y_0=-(\beta)/2):}[/math]
; Quindi
[math]C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)[/math]
. La misura del raggio invece si ricava dalla terza relazione[math]r^2=x_0^2+y_0^2-\gamma => r^2=(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma => r=\sqrt{(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma}[/math]
. Prendiamo in considerazione la nostra equazione [math]x^2+y^2-6x-4\sqrt2y+1=0[/math]
Consideriamo l'equazione normale della circonferenza generica di raggio r e centro [math]C(x_0;y_0)[/math]
si ha:[math]\alpha=-6, \beta=-4\sqrt2, \gamma=1[/math]
. Pertanto, essendo [math]C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)[/math]
, otteniamo[math]C(3;2\sqrt2)[/math]
ed essendo [math]r=\sqrt{(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma}[/math]
si ha[math]r=\sqrt{(3)^2+(2\sqrt2)^2-1}=\sqrt{9+8-1}=\sqrt{16}=4[/math]
.
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