Determinare le coordinate del centro e il raggio della circonferenza avente la seguente equazione:
[math]x^2+y^2+x+y+3=0[/math]
Svolgimento
l'equazione della circonferenza di centro
[math](x_0;y_0)[/math]
e di raggio
[math]r[/math]
, sar:
[math](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2[/math]
Sviluppandola si ha:
[math]x^2+x_0^2-2xx_0+y^2+y_0^2-2yy_0=r^2[/math]
ponendo
[math]-2x_0=\alpha[/math]
,
[math]-2y_0=\beta[/math]
e
[math]x_0^2+y_0^2-r^2=\gamma[/math]
si ha
[math]x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0[/math]
che rappressenta l'equazione normale o canonica della circonferenza.
Il centro
[math]C[/math]
della circonferenza rappresentata dall'equazione canonica si ricava dalle due relazioni:
[math]\egin{cases} -2x_0=\alpha \\ -2y_0=\beta \ \end{cases} => {(x_0=-(\alpha)/2),(y_0=-(\beta)/2):}[/math]
;
Quindi
[math]C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)[/math]
.
La misura del raggio invece si ricava dalla terza relazione
[math]r^2=x_0^2+y_0^2-\gamma => r^2=(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma => r=\sqrt{(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma}[/math]
.
Prendiamo in considerazione la nostra equazione
[math]x^2+y^2+x+y+3=0[/math]
Consideriamo l'equazione normale della circonferenza generica di raggio r e centro
[math]C(x_0;y_0)[/math]
si ha:
[math]\alpha=1, \beta=1, \gamma=3[/math]
.
Pertanto, essendo
[math]C(-(\alpha)/2; -(\beta)/2)[/math]
, otteniamo
[math]C(-1/2;-1/2)[/math]
ed essendo
[math]r=\sqrt{(-(\alpha)/2)^2+(-(\beta)/2)^2-\gamma}[/math]
si ha
[math]r=\sqrt{(-1/2)^2+(-1/2)^2-3}=\sqrt(1/4+1/4-3)=\sqrt(1/2-3)=\sqrt(-5/2)[/math]
.
La soluzione non accettabile, pertanto l'equazione
[math]x^2+y^2+x+y+3=0[/math]
non rappresenta l'equazione di una circonferenza.