Calcolo della sezione aurea con 10000 decimali esatti

N

da cui si può ricavare immediatamente:

5 = 2,236067977499789696409173668731176235440

Ma perché 78 zeri ? Questo si desume constatando che:

= 22,360679 ……………… ha 2 cifre prima della virgola

500

50000 = 223,60679 ……….…, ha 3 cifre prima della virgola

5000000 = 2236,0679 ………., ha 4 cifre prima della virgola

500000000 = 2236,0679 ……., ha 5 cifre prima della virgola

e così via. x

Da questi esempi è facile allora ricavare che per ottenere cifre intere esatte a sinistra della

5000000000 ...... 0000000 dove gli zeri che seguono la cifra

virgola occorre calcolare il valore di

( )

⋅ −

x 1 .

5 sono in numero di 2 ( )

⋅ −

2 40 1 = 78 zeri

Pertanto per avere x = 40 cifre esatte prima della virgola si devono considerare

Si ribadisce una volta ancora che, sia 5 , sia 5000000000

...... 0000000 con un numero pari di

zeri risultano avere lo stessa serie di cifre con l’unica differenza del posto della virgola.

y decimali esatti dopo

con = 40 , cioè con 40 cifre esatte

Se viene invece richiesto di calcolare 5

y x

la virgola , è legato evidentemente al precedente valore , che comprendeva anche la cifra

y = x - . decimali

iniziale 2, dalla seguente relazione: 1 Pertanto per ottenere 5 con 40 esatti dopo

2*y = 80 ottenendo dopo alcune

la virgola occorre introdurre un numero di zeri dopo la cifra 5 pari a

iterazioni il valore cercato. Si inserirà poi la virgola subito dopo la prima cifra. +

1 5 ,

ma anche il valore

Proseguendo nei calcoli, dato che si vuole individuare non solo 5 2

conviene procedere considerando la sequenza delle 1 cifre esatte trovate (compresa quindi

y+

anche la prima) senza alcun inserimento per ora della virgola.

Nel metodo usato lavorando in aritmetica a precisione multipla facendo riferimento ad esempio al

 

valore mostrato in (1) la serie di cifre esatte trovate per tale valore viene posizionata in un

N

vettore (array) ordinato composto da un adeguato numero di elementi o celle .

Consideriamo ora la cella di indice più elevato di questo vettore: in essa vengono memorizzate le

prime cifre più significative della suddetta serie con variabile da 1 sino a 7 a seconda del

c c

numero di cifre decimali esatte che si vogliono ottenere.

Siano ad esempio memorizzate nella suddetta cella le seguenti prime = 6 cifre: 223606

c

Poiché in effetti dobbiamo avere a disposizione il valore 323606 che rappresenta, a meno della

virgola, le prime cifre di 1 + si deve eseguire su questo primo elemento la seguente addizione

c 5

−

c 1

+ ottenendo così il valore 323606. Su tutto il vettore poi così modificato si effettua

223606 10

quindi la divisione per 2 ottenendo un vettore-quoziente, il cui primo elemento contiene le seguenti

cifre elementari (dove

cifre:1 61803 mentre gli altri elementi contengono, ciascuno composto da g g

2 +

1 5

g

è l’esponente della aritmetica utilizzata in Base [3]), tutte le rimanenti cifre di sempre

10 2

non considerando la virgola.

Inserendo ora la virgola in modo semplice ma adeguato nella prima cella del vettore-quoziente, tale

elemento assumerà la seguente configurazione: 1,61803

Quale risultato finale si ottiene, memorizzato nel vettore, il valore numerico cercato della Sezione

Aurea con tutte la cifre decimali richieste.

Pertanto sempre rifacendoci all’esempio sopra riportato, quale risultato finale dei calcoli si otterrà

il valore la Sezione Aurea con 40 cifre esatte: 1.618033988749894848204586834365638117720.

Si fa osservare che l’algoritmo di approssimazione usato per il calcolo della radice quadrata , quello

di Newton -.Raphson (illustrato in una nota precedente [3] reperibile nella sezione Teoria dei

di questo Sito) presenta una convergenza di tipo quadratico, il che significa in termini

numeri

pratici, che ad ogni iterazione il numero delle cifre esatte trovate è pressoché raddoppiato rispetto

alla precedente iterazione.

Partendo ad esempio con un valore iniziale per la radice quadrata presentante 14 cifre esatte, con

⋅ ⋅

a a

la 2 14 2 iterazione 2 28 = 56 cifre esatte,

1 iterazione si otterranno = 28 cifre esatte, con la

⋅ a

n

con la terza iterazione = 112 cifre esatte e in generale nella iterazione si otterranno

2 56

⋅

n cifre esatte. Per sapere così quante iterazioni sono necessarie per ottenere 1000 cifre esatte

2 14 ⋅

n

della radice di un numero si può impostare la seguente equazione 1000 = 2 14 , da cui si ricava:

1000

log 14

= = 6,158429…….

n log 2

Poiché però il numero di iterazioni non può essere che intero il valore di sarà il seguente:

n

 

6

,

158 ... = 7. In sole 7 iterazioni pertanto si riescono ad ottenere 1000 cifre esatte. In realtà

n =

poi si effettuano 8 iterazioni in quanto l’ultima è preposta alla verifica dell’effettivo numero di cifre

esatte richieste.

Si riportano qui di seguito 3 allegati. Nei primi due vengono mostrati, così come compaiono sullo

schermo del monitor, due esempi del risultato di calcolo, relativi all’ottenimento del valore

numerico della Sezione Aurea uno con 455 cifre esatte, l’altro con 2359 cifre esatte ottenuti

tramite il programma riportato nel terzo Allegato .

Sono messi in evidenza anche il numero di iterazioni richieste ed i tempi di calcolo.

Nel terzo allegato viene riportato il listato del programma scritto in Qbasic, tramite il quale si

possono ottenere i valori numerici della Sezione Aurea con un qualsiasi numero di decimali esatti

nel campo da 15 a 11000 decimali . Si vuole qui specificare che il limite di 15 è dovuto per

ottenere un valore esatto anche per la 16^ cifra della grandezza in esame ( il che non è ottenibile

anche con la doppia precisione disponibile), mentre il limite superiore è suggerito dalle limitazioni

imposte dal software utilizzato: andando oltre tale valore si possono avere possibili interruzioni di

calcolo dovuti ad una eccessiva lunghezza delle stringhe numeriche impiegate nel programma.

Si fa presente che il valore numerico della sezione aurea viene presentato per una migliore lettura

cifre. Nei casi illustrati qui di seguito si ha = 7.

con uno spazio ogni g g

RIFERIMENTI sul Sito http://www.matematicamente.it/ - Approfondimenti

[1] – G. Carolla, Il numero aureo

[2] – M. R. Schroder, Number Theory in Science and Communication, Part X-30.1,

Second Enlarged Edition, Springer-Verlag de

[3] – C. Teodoro, Nota sul Calcolo della parte intera della radice quadrata di un numero gran

3

http://www.matematicamente.it/

SITI INTERNET:

[SI1] http://www.geocities.com/jyce3/

[SI2] http://goldennumber.net/math.htm

[SI3] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html

[SI4] http://www.cs.arizona.edu/icon/oddsends/phi.htm

1° ESEMPIO

Quante cifre decimali esatte vuoi dopo la virgola? 454

N = 5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

000000000000000000000000000000000

cifre di N = 909

VALORE INIZIALE DI X:

Xo = 22360679774997800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

cifre di Xo : 455

g = 7 pr = 10^g = 10000000

numero iterazioni: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

SEZIONE AUREA :

1.618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260

4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317

9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876

6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 0805887

9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422

1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906

9704000 2812104 2762177 1117778 0531531

Il valore numerico della SEZIONE AUREA è stato calcolato con 454 cifre esatte dopo la virgola

NUMERO DI ITERAZIONI: 6

tempo impiegato: .051 secondi 4

2° ESEMPIO

g = 7; pr = 10000000

numero iterazioni: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |

SEZIONE AUREA :

1.618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260

4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317

9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876

6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 0805887

9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422

1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906

9704000 2812104 2762177 1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 6135600

6708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 4587822

8911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263

1165339 2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 9068113

1715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 1629055

5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619 4320827 5051312 1815628

5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788

9921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605

2317277 7520353 6139362 1076738 9376455 6060605 9216589 4667595 5190040 0555908

9502295 3094231 2482355 2122124 1544400 6470340 5657347 9766397 2394949 9465845

7887303 9623090 3750339 9385621 0242369 0251386 8041457 7995698 1224457 4717803

4173126 4532204 1639723 2134044 4494873 0231541 7676893 7521030 6873788 0344170

0939544 0962795 5898678 723