Sezione aurea

Per la precisione, il numero aureo. Perché è proprio lui e nessun altro però, nessuno è mai

riuscito a spiegarlo.

A tal proposito, e con questo concludo la mia introduzione, ritengo interessante partire da una

citazione di Dan Brown, tratta da "Il codice Da Vinci", in cui un professore si propone di

spiegare ai suoi studenti, cosa che proverò a fare anch' io, cos'è la sezione aurea e qual è il suo

legame con il mondo che ci circonda.

"All'improvviso gli parve di essere ritornato ad Harvard, davanti ai suoi studenti del

corso "il simbolismo nell'arte" e di scrivere alla lavagna il suo numero preferito.

1,618 Chi mi sa dire

Langdon si era voltato verso la sua aula piena di studenti ansiosi. "

che numero è?" Il numero phi

Un diplomato in matematica, nelle ultime file, aveva alzato la mano. "

"fi".

". Lo pronunciava

"Questo numero phi" "1,618, è un numero molto

(...) aveva continuato Langdon,

importante per l'arte. chi mi sa dire il perché?" Perchè è bello?".

(...) " Tutti avevano

riso.

"A dire il vero" Stettner ha di nuovo ragione. In

-aveva commentato Langdon , -"

genere , phi è considerato il più bel numero dell'universo." "

2. Concetti matematici e geometrici sulla sezione aurea

2.1 Definizione: cos'è la sezione aurea?

Si definisce sezione aurea di un segmento l quella parte x di esso che è media proporzionale

x l-

tra l'intero segmento e il rimanente. In formule, indicando con la lunghezza maggiore e con

x la lunghezza minore, vale la relazione: )

l: x=x :(l−x

2 2

=l −lx

x 2 2

+lx−l =0

x √

−1± 5

=

x 1,2 2

√ 5−1

x= l

2

E consideriamo solo la soluzione positiva perché si tratta di una parte di

segmento.

Si definisce numero aureo il rapporto tra questa grandezza l e la sua parte aurea, tale che

l

φ= x . Questo rapporto vale approssimativamente 1,6180 ed è esprimibile per mezzo della

formula: ( ) ( ) ( )

√ √ √

2 5+1 2 5+1 5+1

l l 2

= = = = =

φ= √ √ √ √

( ) ( )

x 4 2

5−1 5−1 5−1 5+1

l

2 =

1,6180339887...

Il valore così definito è un numero irrazionale . Esso può essere approssimato, con crescente

precisione, dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è

strettamente collegato e che prenderemo in esame in seguito.

Sia le proprietà geometriche e matematiche del numero aureo, che la frequente riproposizione

di questo in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno

impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di

bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico

quale "canone di bellezza"; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più

recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino

esercitato. Φ

2.2 Le proprietà di

Il perché questo numero abbia affascinato così tanto studiosi di tutte le discipline va ricercato,

innanzitutto, nelle sue singolari proprietà algebriche, alcune delle quali vengono elencate qui di

seguito:

Se calcoliamo il reciproco 1/Φ, il risultato che otteniamo è esattamente Φ - 1.

( ) ( )

√ √

√ √ 5+1 5−1

5+1 5−1 4 2 1

−1= = = = =

φ−1= √ √ √

( ) ( ) ( )

2 2 φ

2 5+1 2 5+1 5+1

È facile intuire poi come il quadrato di Φ meno l’unità dia ancora una volta il valore di Φ,

( )

2

√ √ √ √ √

5+1 6+2 5 3+ 5 2+1+ 5 5+1

2 = = = = =1+ =1+φ

φ 2 4 2 2 2

1 1

⇒

φ−1= φ=1+

φ φ

Da ciò ne consegue che

Se sostituiamo, nella parte destra, al posto di Φ questa nuova espressione otteniamo

Ripetendo lo stesso procedimento per più volte diamo origine a un' equazione particolare:

2.3 Costruzione geometrica, triangolo e rettangolo aureo

Possiamo costruire la sezione aurea partendo da un segmento AB: si conduce dapprima la

perpendicolare ad AB nell'estremo B, si fissa sulla perpendicolare il punto C tale che BC = 0.5

AB (ciò è ottenibile puntando il compasso in B e tracciando un arco di raggio BM che vada a

determinare l'intersezione C sulla retta perpendicolare ad

AB). Si procede unendo A con C e tracciando l'arco di

circonferenza di raggio BC tenendo il compasso puntato in C:

in tal modo determiniamo il punto D come l'intersezione

della retta AC con la circonferenza appena tracciata. A

questo punto si porta su AB il segmento AE, tracciando un

altro arco di circonferenza puntando il compasso nel punto A

con raggio AD. In tal modo ho determinato la sezione aurea

AE di un segmento iniziale AB.

AB: AE = AE: EB

Possiamo dimostrare la veridicità di quanto affermato mediante il seguente ragionamento.

Infatti per il teorema della tangente e della secante si ha:

AF : AB = AB : AD.

Applicando la proprietà dello scomponendo: ( AF – AB ) : AB = ( AB – AD ) : AD ,

ma AB = DF poiché sono entrambi diametri di circonferenze dal medesimo raggio (MB = BC),

pertanto ( AF – AB ) = ( AF – DF )= AD = AE,

( AB – AD ) = ( AB – AE ) = EB, sostituendo si ha :

AE : AB = EB : AE, da cui per la proprietà dell’invertendo si ottiene:

AB : AE = AE : EB

Che dimostra la proprietà della sezione aurea del segmento AB.

Esistono due poligoni in cui la presenza di Φ nel rapporto fra i loro lati ha fatto sì che venissero

definiti “aurei”. Il primo è il “triangolo aureo”, in cui Φ è dato dal rapporto tra il lato obliquo e la

base; il secondo è il “rettangolo aureo” in cui il rapporto fra base e altezza è uguale al rapporto

aureo. Quest'ultimo poligono è, secondo molti artisti, il rettangolo che maggiormente appaga il

nostro senso estetico, grazie al fatto che i suoi lati stanno in rapporto aureo.

Il triangolo aureo è lo stesso triangolo che si forma se si considerano le diagonali e

un lato del pentagono regolare: ha 2 angolo di 72° e uno di 36°. Apparentemente è

un triangolo isoscele come tutti gli altri, ma a differenza di questi il triangolo aureo

gode di una singolare proprietà, infatti, bisecando uno degli angoli alla base si

ottiene un triangolo simile a quello di partenza, bisecando quest’ultimo si ottiene un

altro triangolo simile ai precedenti e si può continuare all’infinito: è l’unico triangolo

a godere di questa straordinaria proprietà.

Il rettangolo aureo è considerato ancora oggi il rettangolo “più bello”.

Per rettangolo aureo si intende un particolare rettangolo avente un lato che è sezione aurea

dell'altro.

La costruzione di tale rettangolo si ottiene a partire da un

quadrato ABCD.

Si calcola il punto medio del segmento AB; si traccia la

circonferenza di centro M e raggio MC che intersecherà in E il

prolungamento di AB dalla parte di B. Si traccia la

perpendicolare a AE in E che intersecherà in F il prolungamento

di DC dal lato di C. Il rettangolo AEFD così ottenuto, sarà un

rettangolo aureo.

Considerando l il lato del quadrato, l'apertura

del compasso che punta nel punto medio risulta, applicando il teorema di

Pitagora:

√ √

2

1 5

2 +( =

l l) l

2 2

Considerando che il segmento di tale lunghezza va aggiunto ad una porzione

pari a ½ del lato, il lato maggiore costruito misurerà complessivamente:

√

1 5

√ l+ l

1 5

=

AE l+ l AE 2 2

per cui = =ϕ

2 2 AD l

AE: AB = AB: BE, ma AB=AD, per cui AD è sezione aurea di AE.

La particolarità saliente è la sua facile replicabilità: un rettangolo

aureo più piccolo si può ottenere dal più grande sottraendo da

questo un quadrato di lato uguale al lato minore.

Costruendo in ogni quadrato un arco di circonferenza il cui raggio

è uguale al lato del quadrato stesso, si ottiene una curva detta

.

spirale aurea. Quest’ultima è un elemento che si trova spesso

anche in natura, ad esempio nella conformazione di certe

conchiglie e nella forma di alcune galassie.

La "spirale aurea": la serie di rettangoli aurei sempre più piccoli

converge intorno a un punto che non raggiunge mai e viene detto

"Occhio di Dio", dato dall'intersezione delle diagonali di due

rettangoli successivi.

2.4 La successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definibile

F F

assegnando i valori dei due primi termini, := 0 ed := 1, e chiedendo che per ogni

0 1

F F F

successivo sia := + con n>1.

n n-1 n-2

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

Tra le numerose proprietà di cui essa gode vi è quella secondo cui, procedendo lungo la

successione, il rapporto tra un termine e il suo precedente si avvicina sempre di più al numero

F F n Phi.

d’oro, Φ. Il rapporto / dunque, al tendere di all'infinito tende al numero

n n-1

Il motivo? Abbiamo già precedentemente dimostrato che:

1

ϕ=1+ 1

1+ 1

1+ 1

1+ 1+. . . ϕ

Quindi, in linea di principio potremmo calcolare come

una serie di approssimazioni successive , interrompendo il

calcolo della frazione continua dopo una serie sempre più

lunga di operazioni. Se lo facessimo, il risultato sarebbe

l'elenco di numeri che compare a fianco. Allora un semplice

procedimento aritmetico dimostra che le successive

approssimazioni del numero aureo con la suddetta frazione

continua sono identiche ai numeri di Fibonacci sempre più

grandi divisi per il predecessore. Non c’è quindi da stupirsi

se spostandosi a destra lungo la successione il quoziente di

ϕ

un termine e del suo predecessore convergono a .

3. La sezione aurea nelle arti

3.1 L'ambito artistico

La sezione aurea riconosciuta come un rapporto

esteticamente piacevole è stata usata come base per la

composizione di quadri o di elementi

.

architettonici L'applicazione della sezione aurea è visibile in diverse opere

artistiche: esempio certamente notevole è la Gioconda di Leonardo Da

Vinci, in cui il rapporto aureo è stato individuato, ad esempio, nelle

dimensioni del viso. Persino ne "L'uomo vitruviano", Leonardo studia le

proporzioni della sezione aurea secondo i dettami del De architectura di

Vitruvio, che obbediscono ai rapporti del numero aureo. Leonardo stabilì

infatti che le proporzioni del corpo sono perfette quando l'ombelico divide

l'uomo in modo aureo. Ne L’Ultima

cena infine, Gesù, il solo personaggio

veramente divino, è dipinto con le

proporzioni divine, ed è racchiuso in un rettangolo aureo.

Indubbi esempi di sezione aurea sono invece ravvisabili nelle opere di Piet Mondrian (1872-

1944), autore di numerosi quadri astratti in cui dominano figure geometriche. L'accostamento

di rettangoli aurei si fa qui evidente. Ne è un esempio la composizione a fianco: come nelle

altre opere di questo artista, i colori impiegati sono pochi, e si

riducono spesso ai 3 colori primari. Essi si dispongono all'interno

di una griglia sempre variabile fatta di strisce nere. Ogni colore è

steso senza alcuna variazione di intensità, in una resa

assolutamente bidimensionale della composizione. I rettangoli

rossi in figura sono stati evidenziati (da me) in modo da rendere

immediatamente riconoscibili i rettangoli aurei del dipinto.

Interessante è poi ripercorrere il cammino di questo artista nella

produzione dell'opera "Composizione a losanga". Abbiamo già

visto la costruzione di un rettangolo aureo. Ora immaginiamo di poter costruire un quadrato

che abbia come diagonale il segmento AC, la cui sezione aurea è AS. Tracciamo per S la

parallela EF a BC. Ora consideriamo un nuovo quadrato, che abbia come lato A'B' tale che A'B'

= AS. Lungo la diagonale A'C' determiniamo la sezione aurea A'S'. Ora tracciamo la parallela

E'F' ad A'B'. Sovrapponiamo ora i due quadrati, in modo tale da far

coincidere S' con S. In tal modo avremo ottenuto, non del tutto ma a

grandi linee, il quadro di Mondrian. A dire

il vero non si sa con certezza se questo

autore operò di proposito con la sezione

aurea, rimane però certo che questa resta

visibile in diverse sue opere.

Nelle immagini

affianco possiamo

notare la netta somiglianza tra la

nostra ricostruzione di

"Composizione a losanga" con

l'opera vera e propria.

Menzione a parte merita il lavoro di Salvador Dalì (1904-1989): questi, un surrealista dal

repertorio vastissimo, è l'autore di "Il sacramento dell'ultima Cena", un'opera del 1955. Il

poliedro che fa da sfondo alla scena ha dodici facce, dodici come il numero degli apostoli.

Inoltre, secondo la concezione platonica, il dodecaedro è

simbolo della perfezione dell’universo. Le facce pentagonali