In questo appunto viene risolto un problema che prevede il calcolo dell’area di un rettangolo i cui vertici sono i punti di intersezione di un’ellisse con le bisettrici degli assi cartesiani.
Per comprendere e risolvere tale problema è prima necessario richiamare alcuni concetti che sono presenti nel problema (equazione di un’ellisse, bisettrici degli angoli degli assi cartesiani, punto di intersezione e area di un rettangolo).
Indice
Ellisse: richiami teorici
L’ellisse è una figura geometrica chiusa ed è costituita dal luogo geometrico dei punti di un piano che sono disposti in modo tale che la somma delle distanze dai fuochi (due punti fissi), è costante.È possibile descrivere tale curva attraverso una equazione matematica:
tutti i punti (x,y) che rispettano questa relazione fanno parte dell’ellisse.
Nell’equazione generale dell’ellisse compaiono le lettere a e b che corrispondono ai semiassi maggiore e minore (i semiassi sono la metà dei due segmenti che tagliano e dividono in due parti uguali l’ellisse, essendo l’ellisse simmetrica ci saranno due segmenti ortogonali tra loro che dividono a metà l’ellisse).
Per poter comprendere meglio l’esercizio è utile disegnare gli elementi contenuti nel problema: per disegnare l’ellisse quindi si individuano i valori dei due semmiassi (
Bisettrici degli angoli degli assi cartesiani
Il piano cartesiano è definito da due assi detti appunto assi cartesiani che permettono di individuare i punti presenti nel piano.Tali assi sono l’asse delle x (ascisse) e delle y (ordinate), i due assi sono ortogonali tra loro e dividono l’intero piano in 4 quadranti.
La bisettrice degli angoli degli assi cartesiani è quella retta che separa a metà i due quadranti opposti e passa per l’origine degli assi.
L’equazione che descrive la bisettrice è:
Punto di intersezione
Date due curve è possibile trovare i punti di intersezione mettendo a sistema le due equazioni che descrivono i due elementi.L’operazione di mettere a sistema permette di trovare i punti di intersezione poichè tali punti devono rispettare le equazioni di entrambe le curve.
Per ulteriori approfondimenti suli metodi di risoluzione dei sistemi di equazioni vedi anche qua.
Area di un rettangolo
L’area di un rettangolo si trova moltiplicando la base per l’altezza come riportato nell’equazione sottostante:
Svolgimento del problema
Dall’immagine nella quale sono rappresentati tutti gli elementi che compongono il sistema si può notare come l’ellisse sia centrata nell’origine degli assi e perciò il problema ha una ben precisa simmetria, per tale motivo è possibile affrontare il problema solo in un quadrante (supponiamo di considerare il primo quadrante) e una volta trovata l’area della porzione di rettangolo contenuta in questo quadrante basterà moltiplicarla per 4 per trovare l’area totale del rettangolo.
Come abbiamo detto per prima cosa occorre calcolare i punti di intersezione tra ellisse e la bisettrice degli assi cartesiani e per fare ciò occorre risolvere il seguente sistema:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1 \\
x&=y
\end{cases}[/math]
Utilizzando il metodo della sostituzione è possibile sfruttare la seconda equazione del sistema per riscrivere la prima equazione: dato che x=y è possibile inserire la x al posto della y ottenendo:
Sommando le frazioni si ottiene:
Si esplicita quindi la x moltiplicando entrambi i lati dell’uguaglianza per il reciproco del coefficiente della
Per trovare il valore della x che rispetta questa uguaglianza è possibile eseguire la radice di entrambi i membri, ricorda però che ogni volta che si esegue la radice nei due membri di un’equazione è necessario introdurre il
Questa accortezza è necessaria perché l’operazione di elevare al quadrato toglie l’informazione sul segno, perciò l’equazione è soddisfatta per entrambi i valori opposti (se non si introduce il
Tale dettaglio si può vedere anche a livello grafico: sono state messe a sistema la bisettrice del primo e del terzo quadrante e l’ellisse e se si osserva il disegno si può notare come esistano due punti nel piano in cui bisettrice ed ellisse si intersecano e perciò il sistema deve dare origine a due soluzioni.
Si ottiene che
Dopo aver ottenuto le coordinate del punto di intersezione si può notare come l’ascissa del punto di intersezione corrisponde alla base della porzione di rettangolo contenuta nel primo quadrante mentre l’ordinata del punto di intersezione corrisponde all’altezza della porzione di rettangolo contenuta nel primo quadrante.
Come richiamato in precedenza, l’area del rettangolo può essere calcolata moltiplicando la base per l’altezza:
Una volta ottenuta l’area della porzione di rettangolo contenuta nel primo quadrante è possibile trovare l’area complessiva del rettangolo moltiplicando il valore di area ottenuto in precedenza per 4:
Il risultato finale è quindi che l’area del rettangolo è pari a
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