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Questo testo presenta e descrive una tabella che raggruppa un'ampia varietà di dati relativi a formule, giochi e curiosità matematiche. Gli appassionati potranno utilizzarla come una sorta di prontuario agile e facilmente consultabile. I dati sono ordinati per argomento e riguardano sia aspetti più specificamente matematici (costanti, numeri interi, calcolo combinatorio, figure geometriche), sia applicazioni legate al campo della matematica ricreativa.
BIBLIOGRAFIA
Per realizzare la tabella si sono utilizzati in primo luogo le opere di Martin Gardner, uno dei più
grandi divulgatori matematici del „900 con i suoi articoli sulla rivista “Scientific American”, poi
raccolti in numerosi volumi (alcuni disponibili in italiano altri solo in inglese).
Si allega un elenco dei libri di Gardner, sicuramente non completo poiché in tempi diversi gli stessi
articoli sono stati variamente assemblati e tradotti.
Enigmi e giochi matematici n. 1-5, Sansoni
Ah! Ci sono! Paradossi stimolanti e divertenti, Zanichelli
Mathematical carnival, Mathematical association of America
Mathematical magic show, Mathematical association of America
Mathematical circus, Mathematical association of America
The magic numbers of Doctor Matrix, Mathematical association of America
Wheels, life and other mathematical amusements, Mathematical association of America
Knotted doughnuts and other mathematical entertainments, Mathematical association of
America
Time travel and other mathematical bewilderments, Mathematical association of America
Penrose tiles to trapdoor ciphers, Mathematical association of America
Fractal music, hypercards and more, Mathematical association of America
The last recreations, Mathematical association of America
Inoltre, sono stati consultati numerosi siti Internet e i seguenti volumi:
L’enigma dei numeri primi,
- Du Sautoy M., BUR
- Singh S., L'ultimo teorema di Fermat, Rizzoli
- Balzarotti G.-Lava P., Le sequenze di numeri interi, Hoepli
- Livio M., La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni,
Rizzoli
- Eastaway R.-Wyndham J., Probabilità, numeri e code. La matematica nascosta nella vita
quotidiana, Dedalo
- Eastaway R.-Wyndham J., Coppie, numeri e frattali. Altra matematica nascosta nella vita
quotidiana, Dedalo 3
FORMULE, CURIOSITÀ, GIOCHI MATEMATICI
1 - COSTANTI MATEMATICHE
√2+√3
22 / 3 3,143 - 355 / 113 3,141593 - 3,146
Approssimazioni di /2 = 2/1x2/3x4/3x4/5x6/5x6/7 etc.
Pi greco /4 = 1/1-1/3+1/5-1/7+1/9 etc.
3,14159 come limite di serie numeriche
2 1 2 2 2
/6 = 1/1 +1/2 +1/3 +1/4 etc.
2 1 2 2 2
/8 = (1/1) +(1/3) +(1/5) +(1/7) etc.
Approssimazioni di e 87 / 32 2,719 - 878 / 323 2,71826
Numero di Eulero o e come limite di serie numeriche e = 1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4! etc.
di Nepero
E‟ maggiore e e
e 2,71828 e o ? e = 23,14 - = 22,46 -1 +1
2
√5 / 2 Unico numero reale per cui = 1 / e =
= 1+ ,
2 3 Unica serie additiva con rapporto tra termini consecutivi costante
Serie aurea: 1, ,
Numero aureo Rettangolo aureo: togliendo un quadrato rimane tale
1,61803 Proprietà varie (geometria) 3 rettangoli aurei perpendicolari formano i vertici di un icosaedro
Proprietà varie (numeri) è il limite del rapporto tra 2 numeri di Fibonacci consecutivi
Limite della serie formata dalla somma delle coppie di primi gemelli:
Costante di Brun
B 1,90216 + (1/11+1/13) + …
2 (1/3+1/5) + (1/5+1/7)
Unisce in un‟unica formula le costanti fondamentali
i
Identità di Eulero 0, 1, i, e,
e +1 = 0
2 - NUMERI INTERI 2
Formula di Eulero: x +x+41 Produce una sequenza ininterrotta di 40 numeri primi
P
Numeri di Mersenne: 2 -1 con P primo. Non si sa se siano 3 - 7 - 31 - 127 - 8.191 - 131.071 etc.
infiniti. F
Numeri primi 4.294.967.297 etc.
Numeri di Fermat: 2 +1 con F = numero primo di Mersenne. 3 - 5 - 17 - 257 - 65.537 -
Non si sa se siano infiniti. per cui l‟approssimazione di E‟ probabilmente il più grande numero con una
34
Numero di Skewes: minimo numero Equivale a 10 elevato a 10
Gauss del numero di primi passa da difetto a eccesso precisa funzione utilizzato in matematica
Difettivi = numeri N maggiori della somma dei propri divisori 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 13 - 14 etc.
Tutti i primi lo sono
Categorie di numeri
rispetto ai divisori Altamente composti = hanno più divisori di qualsiasi intero 1 - 2 - 4 - 6 - 12 - 24 - 36 - 48 - 60 - 120 - 180 - 240 etc.
positivo minore 4
Abbondanti = numeri inferiori alla somma dei propri divisori 12 - 18 - 20 - 24 - 30 - 36 - 40 - 42 - 48 - 54 - 56 - 60 etc.
Alcuni numeri con molti divisori propri Con al massimo 4 cifre: 7.560 e 9.240 (hanno 63 divisori propri)
2
Numeri potenti Numeri N tali che per ogni primo p che divide N, anche p lo 1 - 4 - 8 - 9 - 16 - 25 - 27 - 32 - 36 - 49 - 64 - 72 etc.
2 3
(powerful) divide. Sono sempre della forma a b
Numeri di Achille Tutti i numeri potenti che non sono una potenza perfetta 72 - 108 - 200 - 288 - 392 - 432 - 500 - 648 - 675 - 800 etc.
Numeri che consentono di eseguire in fretta operazioni 1.667 (5.001 / 7) - 142.857.143 (1.000.000.001 / 7)
Numeri “magici” apparentemente complicate
Numeri composti che consentono trucchi di magia matematica 111 = 3x37 / 1.001 = 7x11x13 / 111.111 = 3x7x11x13x37
di N cifre che moltiplicati per 1,2…N contengono
Numeri interi Il più piccolo è 142.857
le stesse cifre nello stesso ordine ciclico Es. la frazione 1/17 genera il periodo 0.588.235.294.117.647
Regola generale: se 1/P con P primo produce un decimale con un
Numeri ciclici Al di sotto di 100, vi sono 9 generatori di numeri ciclici:
periodo di P-1 cifre, tale periodo è un numero ciclico 7-17-19-23-29-47-59-61-97
Moltiplicando un numero ciclico per il generatore si hanno tutti 9 Es. 142.857x7 = 999.999
Σ dei propri divisori (compreso 1)
Equivalgono alla 33.550.336
1 - 6 - 28 - 496 - 8.128 - etc.
N-1 N
Numeri perfetti Quelli pari sono tutti del tipo 2 (2 -1) con N primo
Non si sa se siano infiniti, né se ne esistano di dispari
Coppie di numeri in cui ciascuno è la Σ dei divisori dell‟altro
Numeri amichevoli 220 e 284 / 1.184 e 1.210 / 2.620 e 2.924 etc.
Esistono anche coppie dispari
Come i numeri amichevoli, ma anziché in coppie sono in gruppi Es. 12.496 - 14.288 - 15.472 - 14.536 - 14.264 (periodo 5)
Numeri socievoli di tre o più numeri
Dà la probabilità che i numeri di un elenco casuale comincino Stranamente, la probabilità decresce dalla cifra 1 (probabilità del 30%
con le cifre 1, 2 … 9. E‟ stata usata per smascherare frodi in
Legge di Benford circa) alla cifra 9 (meno del 5%). Non è del tutto chiaro il perché.
elenchi di importi. Formula: P = Log (1+1/C) con C = cifra da 1 a 9
Σ dei primi N dispari 2
N
Σ dei primi N quadrati N(N+1)(2N+1) / 6 Equivale ai numeri piramidali quadrati
Sommatorie varie + ….24
2 2 2 2
Somma dei primi N quadrati = quadrato perfetto? Unica soluzione: 1 +2 = 70
Σ dei primi N cubi 2
[N(N+1) / 2] Equivale al numero di cubi contenuti in un cubo NxNxN
Somme di potenze 1 1+2 = 3 / 4+5+6 = 7+8 / 9+10+11+12 = 13+14+15
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
10 +11 +12 = 13 +14 = 365 / 21 +22 +23 +24 = 25 +26 +27
Curiosità varie con le Somme di quadrati In generale, il primo numero di queste uguaglianze è N(2N+1)
potenze 2 2 2 2
Somma notevole con numeri piccoli: 2 +3 +6 = 7
3 3 3 3
3 +4 +5 = 6
Somme di cubi
Ricerca le sole soluzioni intere di equazioni La forma più semplice è: Ax+By = C
Esempio: esiste un mattone con interi i lati e tutte le diagonali No, ma ne esistono con la sola diagonale spaziale non intera (il più
Analisi diofantina (compresa quella interna al mattone)? piccolo ha lati 44-117-240)
5
Numeri di Pell: interi x, y che risolvono l‟equazione x²-Ay² = 1 Vi sono soluzioni intere non banali (x=±1; y=0) per ogni A che non sia un
Sono infiniti quadrato perfetto
2 3 2
Equazioni ellittiche: funzioni del tipo y = x +ax +bx+c 3 2 2
Es. x -x = y +y
con soluzioni intere
φ φ
Funzione di Eulero (N) = numero di interi minori o uguali a N coprimi con N Es. 2 1 / 3 2 / 4 2 / 5 4 / 6 2 / 7 6 / 8 4
τ (N) associa ad ogni N il numero dei suoi divisori, inclusi uno e
τ
Funzione Es. 2 2 / 3 2 / 4 3 / 5 2 / 6 4 / 7 2 / 8 4
N stesso
Ultimo teorema di L‟equazione Dimostrato da Andrew Wiles negli anni „90
N N N
x +y = z non ha soluzioni intere per N > 2
Fermat
Piccolo teorema di Teorema molto utile nella cifratura “trapdoor”
P-1
Se P è primo e A coprimo con P, allora A = 1 modulo P
Fermat φ(N)
Se A è un numero coprimo con N, allora A = 1 modulo N φ
Teorema di Eulero (N) = Funzione di Eulero (vedi sopra)
Generalizza il piccolo teorema di Fermat
Teorema fondamentale dell‟aritmetica Per ogni numero naturale, esiste un‟unica fattorizzazione in numeri primi
Fattorizzazione
Teorema di Wilson (N-1)!+1 è divisibile per N se e solo se N è primo Es. 6!+1 = 721 è divisibile per 7
3 - FRAZIONI E NUMERI NON INTERI Es. 3/7 = 1/4+1/7+1/28
Frazioni unitarie (1/M+1/N etc.). Ogni frazione propria può
essere espressa come somma di n frazioni egizie.
Frazioni egizie Fibonacci trovò un algoritmo per costruire queste somme
1/3 = (1+3)/(5+7) = (1+3+5)/(7+9+11) = (1+3+5+7)/(9+11+13+15) …
Infinita serie di numeri equivalenti
Frazioni di Galileo
Es.
Differiscono di pochissimo da un intero
Numeri “quasi” interi e - = 19,9991
Moltiplicazione per i Equivale a ruotare ogni volta di 90° il vettore sul diagramma cartesiano
i -/2
Numeri complessi i = e (stranamente, si tratta di un numero reale)
ix
Formula di Eulero: e = cos(x)+i sen(x) Vale per ogni numero reale x
6
4 - SERIE NUMERICHE 362.880 - 3.628.800 etc.
Prodotto dei primi N numeri interi consecutivi 1 - 2 - 6 - 24 - 120 - 720 - 5.040 - 40.320 -
√2
N -N
Formula approssimata (Stirling): N! N e N
Fattoriale Prodotto di 2 fattoriali = fattoriale (M! x N! = P!) Unica soluzione: 6! x 7! = 10!
Ogni numero è la somma dei due termini precedenti 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144 - 233 - 377 - 610 etc.
Compaiono in un‟infinità di situazioni in natura )
Rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi Tende al numero aureo (è alternativamente < o > di
= 1/√5[(1+√5/2) n n
Formula: F -(1-√5/2) ]
n = (1+√5/2) / √5
n
Numeri di Fibonacci Formula più semplice: F n
Alcune proprietà numeriche:
n2 2
- F = (F xF )±1 Es. 8 = (5x13)-1
n-1 n+1
n2 n+12 2 2
- F +F = F 5 +8 = F = 89
2n-1 11
2 2 2 2
- Per 4 numeri consecutivi A,B,C,D si ha AxD = C -B 5x21 = 13 -8 = 105
Come i numeri di Fibonacci, ma con i primi termini 1 e 3 1 - 3 - 4 - 7 - 11 - 18 - 29 - 47 - 76 - 123 - 199 - 322 etc.
= (1+√5/2) n n
Formula: L +(1-√5/2)
n
Numeri di Luc