Giochi d'equilibrio. la matematica in equilibrio in situazioni problematiche e ...

«Ringraziare desidero il divino

labirinto delle cause e degli effetti

per la diversità delle creature

che compongono questo universo singolare,

per la ragione, che non cesserà di sognare

un qualche disegno del labirinto, […]

per l’amore, che ci fa vedere gli altri

come li vede la divinità, […]

per l’algebra, palazzo di precisi cristalli, […]

per lo splendore del fuoco

che nessun essere umano può guardare

senza uno stupore antico […]

per il mare, che è un deserto risplendente

e una cifra di cose che non sappiamo, […]

per il nome di un libro che non ho letto, […]

per il prisma di cristallo e il peso d’ottone, […]

per il geometrico e bizzarro gioco degli scacchi,

per la tartaruga di Zenone e la mappa di Royce, […]

per il linguaggio, che può simulare la sapienza,

per l’oblio, che annulla o modifica i passati, […]

per la consuetudine,

che ci ripete e ci conferma come uno specchio,

per il mattino, che ci procura l’illusione di un principio,

per la notte, le sue tenebre e la sua astronomia,

per il coraggio e la felicità degli altri, […]

per il fatto che questa poesia è inesauribile

e si confonde con la somma delle creature

e non arriverà mai all’ultimo verso

e cambia secondo gli uomini, […]

per i minuti che precedono il sonno,

per il sonno e la morte,

quei due tesori occulti,

per gli intimi doni che non elenco,

per questa musica, misteriosa forma del tempo»

Jorge Luis Borges.

Un’altra poesia dei doni,

Giochi d’equilibri

Matteo Marascio

Sommario

Introduzione 5

Capitolo 1: Introduzione alla teoria dei giochi 6

La storia e i personaggi protagonisti

1.1 Il concetto di scelta 7

1.2 Introduzione alla teoria dei giochi 7

1.3 Cosa sono i “giochi”? 8

1.4 Campi d’applicazione 9

1.4.1 Applicazioni in economia 9

1.4.2 Applicazione nella filosofia sociale 9

1.5 Conclusione

Capitolo 2: Analisi e classificazioni 11

Strumenti e metodi della teoria

2.1 Definizioni

2.2 Giochi in forma estesa e giochi in forma strategica 15

2.2.1 Giochi in forma estesa (o estensiva) 15

2.2.2 Giochi in forma strategica (o normale) 20

2.3 Giochi a somma zero e a somma non zero 22

2.3.1 Giochi a somma zero 22

2.3.2 Giochi non a somma zero 22

2.4 Conclusione 22

Capitolo 3: Risoluzione dei giochi, Nash e von Neumann 23

Due matematici complementari e contrari

3.1 Introduzione 24

3.1.1 John Nash – Una mente bellissima 24

3.2 Strategie dominate, strategie miste e miglior risposta 25

3.3 Equilibrio di Nash 29

3.4 Il teorema del minimax 30

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Giochi d’equilibri Matteo Marascio

Capitolo 4: Modelli di situazioni concrete 32

Una chiave per i meccanismi della nostra società

4.1 Gli archetipi di Rapoport 33

4.2 Il contribuente 33

4.3 La caccia al cervo 35

4.4 La corsa del coniglio 36

4.5 Il dilemma del prigioniero 37

4.5.1 Il caso OPEC 38

4.6 Conclusione 39

Capitolo 5: Il trionfo del modello scientifico 40

La filosofia positivista e i suoi effetti sulla letteratura

5.1 Il positivismo 41

5.1.1 Evoluzione darwiniana e spenceriana 41

5.2 Naturalismo e verismo 42

5.3 Giovanni Verga 44

5.3.1 Opere letterarie 46

Fase pre-verista: l’influenza tardo-romantica 46

Fase verista: la conversione di Verga 47

5.4 Conclusione 48

Considerazioni finali 50

Bibliografia 51

Webgrafia 51

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Giochi d’equilibri Matteo Marascio

Introduzione

La scelta dell’argomento da presentare all’orale della Maturità è stata lunga e complessa. La difficoltà principale è stata quella di sviluppare una trattazione inerente al mio piano di studi curriculare, conciliandola con i miei interessi personali e soprattutto renderla semplice e piacevole da ascoltare a persone che incontrano l’argomento per la prima volta. L’idea di parlare della Teoria dei Giochi è sorta all’improvviso, durante una serie di discussioni riguardanti argomenti di natura molto lontani da essa. Sebbene la matematica sia sempre stata una mia grande passione, l’idea di centrare la mia tesina di Maturità sull’argomento mi sembrava di difficile realizzazione, soprattutto evitando i collegamenti forzati o lo sviluppo d’idee ormai consumate dall’usura degli esami sostenuti. Eppure, avvicinandomi per la prima volta all’argomento, mi sono sempre più convinto che questa teoria non solo è estremamente interessante, ma anche che essa abbraccia molti dei campi e delle discipline studiate durante questi cinque anni scolastici.

Due sono i punti chiave su cui ho tentato di basarmi per la realizzazione di questo lavoro: l’originalità e la semplicità. Per avvicinare l’argomento anche a coloro i quali hanno buoni rapporti con la matematica ho cercato di affiancare alle nozioni teoriche degli esempi pratici. Questo approccio è utile non solo per meglio comprendere ciò che la teoria ci dice, ma anche perché la Teoria dei Giochi nasce proprio per risolvere problemi concreti, riferiti a situazioni reali. Sebbene ad oggi la teoria goda di grande fama (sono stati introdotti esami di Teoria dei Giochi nelle facoltà di Matematica, Ingegneria e nei corsi di specializzazione di Economia, ma anche nelle lauree di Biologia, Sociologia, Psicologia, Scienze della Comunicazione e altre si fa spesso riferimento ad essa), essa è conosciuta soprattutto per i nomi dei due matematici che più di tutti hanno contribuito a diffonderla e svilupparla: John Nash e John von Neumann. In concomitanza con l’uscita di A Beautiful Mind (film-biografia di Nash) la Teoria dei Giochi è stata osannata anche dal pubblico non addetto ai lavori. Personalmente, pur ritenendo l’opera cinematografica un capolavoro e l’interpretazione di Russel Crowe brillante quasi quanto la teoria stessa, penso che nessun libro, film o ritratto possa descrivere pienamente la genialità e l’aria d’innovazione che essa ha portato in ogni campo delle scienze. Non a caso negli ultimi anni sono stati ben cinque i ricercatori che hanno ricevuto il premio Nobel per i loro lavori sull’argomento (Robert J. Aumann e Thomas C. Schelling nel 2005 “per il loro contributo alla comprensione delle situazioni di cooperazione e di disarmo grazie all’uso accorto della teoria dei giochi” - John Nash, John C. Harsanyi e Reinhard Selten nel 1994 “per la loro analisi pionieristica degli equilibri nei giochi non cooperativi”).

Ho deciso di dedicare una parte della tesina al Positivismo e alle correnti letterarie nate dagli influssi di questa corrente filosofica (Naturalismo e Verismo), analizzando in particolare il pensiero di Giovanni Verga, per mezzo di una piccola biografia e di alcune sue opere. La scelta è stata determinata dall’importanza attribuita dai positivisti al modello scientifico, il quale pur essendo “vecchio” di centinaia di anni, ancora oggi ci permette di formalizzare correttamente tutte le nostre scoperte scientifiche. Proprio questa “formalizzazione” o “modellizzazione” accomuna la Teoria dei Giochi alla filosofia Positivista e quindi alle sue correnti letterarie.

Capitolo 1: Introduzione alla teoria dei giochi

La storia e i personaggi protagonisti

“Dio non gioca a dadi.”

Albert Eistain

“Non solo Dio gioca a dadi, ma bara pure”

Niels Bohr

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Giochi d’equilibri Matteo Marascio

1.1 Il concetto di scelta

Nell’arco della sua vita una persona deve compiere molte scelte. Alcune possono essere immediate, data la loro semplicità, altre richiedono una maggiore ponderazione. Certe sono scelte di poco conto, altre sono così importanti da influire sul futuro di una o più persone. Talvolta crediamo di compiere scelte razionali, ma succede di accorgersi dell’irrazionalità di una decisione presa. Ma cos’è la “scelta”? Possiamo classificarla come una “valutazione” di una o più “possibilità”, al fine di compiere un’azione. Più formalmente si dice che:

La scelta è quel processo mentale di pensiero implicato nel giudizio del valore di diverse opzioni a disposizione che si conclude con la selezione di una di esse ai fini della conseguente azione.

Il processo decisionale spesso conduce a dei fenomeni di conflitto, ossia ad un sistema in cui più individui interagiscono tra loro al fine di perseguire degli obbiettivi, trovandosi in condizione di guadagnare o perdere qualcosa in funzione delle loro azioni (e quindi delle loro scelte) e di quelle degli altri individui del sistema. Comunemente a molte altre discipline, come in sociologia, in psicologia e in biologia, si è cercato di studiare le problematiche da un punto di vista formale e preciso: quello della matematica.

La razionalizzazione dei fenomeni di conflitto e la formulazione di un modello matematico in grado di descriverli, ideato mediante l’astrazione dalla situazione reale di elementi significativi e utili per essere utilizzati in un modello formale, sono due recenti successi della ricerca scientifica. La branca della matematica che si occupa dell’analisi, della spiegazione e risoluzione di queste problematiche prende il nome di “Teoria dei Giochi” o “TdG”.

1.2 Introduzione alla teoria dei giochi

Storicamente si indica il 1944 come data ufficiale della nascita della Teoria dei Giochi, anno in cui viene pubblicato il saggio “Theory of Games and Economic Behavior” (“La Teoria dei Giochi e il Comportamento Economico”) del matematico John von Neumann e dell’economista Oskar Morgenstern¹. In realtà il primo lavoro matematico sulla Teoria dei Giochi risale a più di trent’anni prima: al Congresso internazionale dei matematici del 1912 Ernst Zermelo provò che qualunque gioco non reiterato (ossia che non può proseguire all’infinito) è risolvibile da una strategia che conduce il bianco o il nero alla vittoria oppure permette ad entrambi i giocatori di pattare la partita. È importante non lasciarsi ingannare dall’ovvietà delle conclusioni di Zermelo: esse sono un importante traguardo della logica matematica e sono ad oggi assunte come postulato.

Un altro contributo importante per delineare i principi della Teoria dei Giochi si deve a Emile Borel³. Oltre ad affrontare il complesso trattamento del bluff nel poker, egli è fondamentale per i suoi studi sulla determinazione dei casi in cui esiste una strategia considerata ottimale e il modo per trovarla. Continuando lungo la linea temporale arriviamo al 1927, anno di pubblicazione dell’articolo “Sulla teoria dei giochi di società” sulla rivista Mathematische Annalen, in cui viene introdotto il concetto di “maxmin”. Chi ne fu l’autore? John von Neumann, lo stesso alieno che durante la guerra collaborò alla redazione del libro cardine della Teoria dei Giochi poco sopra riportato. Non è una coincidenza il fatto che l’opera di von Neumann e Morgestern sia stata ideata durante gli anni della Seconda guerra mondiale (’39-’45). Durante il periodo bellico, e in seguito negli anni della Guerra Fredda, la Teoria dei Giochi è stata ampiamente utilizzata dai governi dell’epoca.

Questa “nuova” branca della matematica applicata ha quindi un enorme potenziale. Oltre a fornire brillanti analisi dei fenomeni militari, essa è proficuamente utilizzata in altre discipline, come la sociologia, la politica, l’informatica, la biologia, psicologia, nell’ingegneria… Nonostante la sua indubbia elasticità e praticità, il campo che più è stato influenzato dalla nascita della Teoria dei Giochi è l’economia.

Al pari di von Neumann, la figura che più di tutte ha contribuito all’affermazione della TdG è John Nash, il matematico a cui sono associate tre nozioni distinte da lui perfezionate: “l’equilibrio di Nash” (1949), “la soluzione di Nash” e “il problema di Nash” (anche conosciuto come “il programma di Nash”). Le sue teorie hanno rivoluzionato l’economia da noi concepita: ad egli è riconosciuto il merito di aver perfezionato le idee di Adam Smith⁵, padre dell’economia liberale classica, e di Cournot (per molto tempo “l’equilibrio di Nash” è stato chiamato “equilibrio di Cournot-Nash”, in onore alle scoperte dell’omonimo economista francese in una particolare forma di duopolio). Nei capitoli successivi analizzeremo più analiticamente tutte queste nozioni.

1.3 Cosa sono i “giochi”?

Perché si è deciso di chiamare una teoria che tratta situazioni di conflitto estremamente serie e pratiche “Teoria dei Giochi”?

Parlando della razionalizzazione dei fenomeni di conflitto abbiamo detto che, per costruire il modello matematico, ci servivamo di una selezione di elementi dell’evento in grado di descriverlo formalmente. Cosa significa questo? Che la matematica opera una semplificazione della realtà, prendendo solo alcune parti di un problema, riducendone quindi la complessità. Il “gioco” da noi analizzato differisce dalla realtà, in quanto esso è descritto da regole precise. Lo stesso von Neumann fornisce una spiegazione del termine “giochi” all’interno di un’intervista:

Alla domanda: “Per ‘giochi’ intendi qualcosa come gli scacchi?”, egli rispondeva: “No, gli scacchi in realtà sono un gioco, perché per ogni posizione sulla scacchiera c’è una procedura corretta e ben definita, ma i giochi veri che intendo io non sono così. La vita reale non è così. È piena di bluff, astuzie e defezioni. È un continuo chiedersi che cosa gli altri pensano che tu intenda fare. Di questo si occupano i giochi della mia teoria”.

¹ Oskar Morgenstern (Görlitz, 24 gennaio 1902 – Princeton, 26 luglio 1977) è stato un economista austriaco, cofondatore insieme a John von Neumann della teoria dei giochi.

² Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (Berlino, 27 luglio 1871 – Friburgo, 21 maggio 1953) è stato un matematico e filosofo tedesco, reso celebre dai suoi contributi allo sviluppo della teoria assiomatica degli insiemi.

³ Félix Edouard Justin Émile Borel (Saint-Affrique, 7 gennaio 1871 – Parigi, 3 febbraio 1956) è stato un matematico e politico francese. In ambito scientifico diede importanti contributi nell’ambito della topologia, teoria della misura, della probabilità e dei giochi.

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Giochi d’equilibri Matteo Marascio

⁴ Quando un giorno Enrico Fermi, una delle figure più importanti all’interno del progetto a Los Alamos, manifestò un certo scetticismo sull’esistenza di una civiltà aliena superiore che non fornisse nessun segno della propria esistenza, sembra che Leo Szilard gli abbia risposto “Probabilmente sono già qua, e li stai chiamando ungheresi”. E visto la caratura dei membri del clan, c’era da credergli.

⁵ Adam Smith (Kirkcaldy, 5 giugno 1723 – Edimburgo, 17 luglio 1790) è stato un economista e filosofo scozzese, che gettò le basi dell’economia politica liberista.

⁶ Antoine-Augustin Cournot (Gray, 28 agosto 1801 – Parigi, 31 marzo 1877) è stato un matematico e economista francese di tendenze vicine all’economia classica. Egli è considerato cofondatore della teoria economica matematica, la quale, accolta inizialmente con scetticismo, trova oggi il più ampio consenso.

1.4 Campi d’applicazione

Come abbiamo detto la teoria si occupa di analizzare e risolvere situazioni in cui intervengono più individui. Un classico esempio potrebbe essere le dinamiche conflittuali in un contesto concorrenziale di stampo oligopolistico, in cui ogni impresa deve tener conto delle azioni delle società avversarie al fine di compiere delle scelte. Questo genere di problematiche è sì strettamente legata all’economia, ma negli ultimi anni è stata applicata con successo in altri campi, come nella sociologia, nella psicologia, nella biologia, ecc. Facciamo dunque un breve excursus sull’applicazione della Teoria dei Giochi, prendendo in riferimento l’economia e la filosofia sociale.

1.4.1 Applicazioni in economia

Abbiamo individuato nell’introduzione al paragrafo un esempio del possibile utilizzo della TdG all’interno della teoria dell’organizzazione industriale. Questa però non è l’unica branca economica a beneficiare degli strumenti della teoria di von Neumann. A livello microscopico, per esempio, i modelli che formalizzano i processi di scambio (aste, contrattazioni, ecc.) ricorrono alla Teoria dei Giochi. Dal punto di vista macroeconomico, sappiamo che l’economia internazionale fa ricorso a strumenti di modellazione matematica per risolvere i problemi di negoziazione tra l’autorità statale e le altre istituzioni riguardo la fissazione dei prezzi e dei salari. Un classico esempio è dato dalle frequenti discussioni tra lo Stato e i sindacati per il rinnovo dei contratti collettivi. Come vedremo in seguito questa rappresenta una delle problematiche che è possibile modellizzare secondo i principi e gli strumenti della Teoria dei Giochi. Anche all’interno dell’azienda ci sono situazioni di conflitto: due o più divisioni possono competere per assicurarsi una quota maggiore del fondo destinato agli investimenti o per ricevere premi di produzione maggiori.