Giochi d'equilibrio. la matematica in equilibrio in situazioni problematiche e ...

GIOCHI D’EQUILIBRI Matteo Marascio

1.4 Campi d’applicazione

Come abbiamo detto la teoria si occupa di analizzare e risolvere situazioni in cui intervengono

più individui. Un classico esempio potrebbe essere le dinamiche conflittuali in un contesto

concorrenziale di stampo oligopolistico, in cui ogni impresa deve tener conto delle azioni delle

società avversarie al fine di compiere delle scelte. Questo genere di problematiche è si

strettamente legata all’economia, ma negli ultimi anni è stata applicata con successo in altri

campi, come nella sociologia, nella psicologia, nella biologia, ecc. Facciamo dunque un breve

excursus sull’applicazione della Teoria dei Giochi, prendendo in riferimento l’economia e la

filosofia sociale.

1.4.1 Applicazioni in economia

Abbiamo individuato nell’introduzione al paragrafo un esempio del possibile utilizzo della TdG

all’interno della teoria dell’organizzazione industriale. Questa però non è l’unica branca

economica a beneficiare degli strumenti della teoria di von Neumann . A livello microscopico,

per esempio, i modelli che formalizzano i processi di scambio (aste, contrattazioni, ecc.)

ricorrono alla Teoria dei Giochi. Dal punto di vista macroeconomico, sappiamo che l’economia

internazionale fa ricorso a strumenti di modellazione matematica per risolvere i problemi di

negoziazione tra l’autorità statale e le altre istituzioni riguardo la fissazione dei prezzi e dei

salati. Un classico esempio è dato dalle frequenti discussioni tra lo Stato e i sindacati per il

rinnovo dei contratti collettivi. Come vedremo in seguito questa rappresenta una delle

problematiche che è possibile modellizzare secondo i principi e gli strumenti della Teoria dei

Giochi. Anche all’interno dell’azienda ci sono situazioni di conflitto: due o più divisioni possono

competere per assicurarsi una quota maggiore del fondo destinato agli investimenti o per

ricevere premi di produzione maggiori. Tornando ad una più vasta visione, possiamo vedere

l’economia come la scienza che si occupa dell’allocazione di risorse scarse e finite fra usi

alternativi. Le risorse sono ritenute scarse e finite in quanto gli individui che concorrono per

ottenerle sono maggiori di quanti potrebbero utilizzarle. Questa teoria, rivendicata

dall’ideologia neoclassica, può essere trattata tramite modelli di TdG solo se essa prevede la

razionalità degli individui. Torneremo sul concetto di razionalità più avanti, chiarendo i dubbi

sulla sua determinazione. Prima della tesi di dottorato pubblicata da John Nash nel 1950, i

principi economici, nei sistemi concorrenziali, erano quelli suggeriti da Adam Smith, fondatore

della scuola economica classica e ideatore del principio della Mano Invisibile. In seguito

all’intuizione di Nash, allora ventisettenne, ci fu un totale sconvolgimento di questa teoria. Nel

capitolo dedicato all’equilibrio di Nash la questione sarà approfondita maggiormente, per ora ci

basti sapere che mentre secondo la prospettiva neoclassica il soggetto economico è visto come

un individuo egoista, per la Teoria dei Giochi è un soggetto interattivo, che si comporta sia in

modo egoista che in modo cooperativo. Per concludere possiamo dire che in economia tratterà

sempre di più la problematica delle scelte razionali, più della questione della scarsità delle

7

risorse. Del resto la metafora dell’asino di Buridano mette l’accento proprio su questa

avversità.

1.4.2 Applicazione nella filosofia sociale

Pur non rientrando la filosofia nelle materie oggetto d’esame, è importante trattare

brevemente come questa teoria abbracci campi molto lontani tra loro. Il pensiero di Thommas

Hobbes, espresso nel suo Leviathan (1651), secondo cui la condizione dell’uomo in natura è

una “guerra di tutti contro tutti”, può essere facilmente ricondotta ad un famoso quesito in

Teoria dei Giochi: il Dilemma del Prigioniero. L’opera di Marx sulla teoria dello sfruttamento

della classe lavoratrice e il gioco sociale di Rousseau sono due altri esempi eclatanti della

7 Giovanni Buridano, che fu rettore dell'Università di Parigi nel 1327, è l'autore della favola dell' asino morente di

farne e di sete, che messo di fronte all'acqua e all'avena, non seppe cosa scegliere e morì. Con la favola di Buridano si

vuole evidenziare il danno, spesso irreparabile, che possono correre coloro che non sanno prendere una decisione

razionale. 9

GIOCHI D’EQUILIBRI Matteo Marascio

possibile (e proficua) applicazione della TdG in questo campo. Qual è il beneficio ottenuto

aggiungendo una trattazione matematica a problemi che sono stati studiati da generazioni di

filosofi e sociologi? Se da un lato la modellizzazione nello studio dei fenomeni sociali richiede

una restrizione del campo d’applicazioni, l’utilizzo di strumenti matematici ci permette di

ottenere risultati precisi. Essa non propone una visione paradigmatica del mondo,

semplicemente la permette. Non la impone, ma la favorisce.

1.5 Conclusioni

Uno dei più grandi problemi della scienza moderna è stato quello di trovare una legge che

fosse in grado di descrivere compiutamente sia i fenomeni microscopici o individuali che quelli

macroscopici o collettivi. Ad esempio nella fisica si fa spesso riferimento alla “Teoria del tutto”,

ossia ad una legge che sia in grado di descrivere perfettamente ogni comportamento della

natura, dalle particelle subatomiche ai movimenti dei grandi ammassi stellari, dalla teoria

quantistica alla relatività generale. Allo stesso modo esistono leggi economiche in grado di

descrivere ottimamente il comportamento di un individuo (un consumatore, un contribuente,

ecc), ma che non possono essere applicate in un discorso macroeconomico, in cui agiscono

soggetti complessi (sistemi economici, politiche fiscali,ecc). Uno dei successi che si può

attribuire alla Teoria dei Giochi è quello di tentare di elaborare un insieme di schemi applicabili

tanto al singolo quanto alla collettività. Essa è il primo grande strumento scientifico di

raccordo. L’universo, gli stati, i fotoni, le proteine, le donne, gli uomini agiscono seguendo un

insieme di procedure, concetti e regolarità altamente compatibili. La conferma ci arriva ogni

giorno, in seguito a sperimentazioni continue e incrociate. Tutti questi giochi sono differenti,

ma essenzialmente uguali nella struttura. Questo non significa che ogni cosa è fatta dagli

stessi ingranaggi meccanici. Tuttavia bisogna rendere merito alla Teoria dei Giochi, la quale

rappresenta uno dei più importanti passi in avanti del progresso scientifico. L’unico mio

rammarico è quello di non poter trattare in maniera adeguata la maggior parte di queste

incredibili scoperte, sia a causa della grande mole di tempo richiesta per studiare gli

argomenti, sia per non annoiare eccessivamente con complessi (ma estremamente

affascinanti) tecnicismi. 10

GIOCHI D’EQUILIBRI Matteo Marascio

Capitolo 2:

ANALISI E CLASSIFICAZIONI

STRUMENTI E METODI DELLA TEORIA

“Vi veri universum vivus vici.”

(Con la forza della verità, vivendo, ho conquistato l'universo.)

da “La tragica storia del Dottor Faust”

Christopher Marlowe

11

GIOCHI D’EQUILIBRI Matteo Marascio

2.1 Definizioni

In questo capitolo analizzeremo la terminologia, i teoremi e i postulati della Teoria dei Giochi.

La Teoria dei Giochi è la scienza matematica che analizza situazioni di

conflitto e ne ricerca soluzioni competitive e cooperative tramite modelli

formali, ovvero uno studio delle decisioni individuali in situazioni in cui vi

sono interazioni tra i diversi soggetti, tali per cui le decisioni di un

soggetto possono influire sui risultati conseguibili da parte di un rivale,

secondo un meccanismo di retroazione.

Procediamo con l’analisi della definizione.

La Teoria dei Giochi è la scienza matematica […]

Come abbiamo già detto nel capitolo precedente, la TdG è una scienza matematica vera e

propria, che rientra nel più generale ramo della matematica applicata. Pur avendo un nome

simpatico, la Teoria dei Giochi tratta argomenti molto complessi!

[…] che analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni competitive

e cooperative […]

Iniziamo con il dire che la parola gioco indica qualsiasi situazione in cui più giocatori si trovano

a controllare ciascuno una o più variabili che influiscono sull’utilità propria e/o degli altri, ossia

descrive l’interazione strategica nelle scelte di giocatori autonomi.

Volendo fornire una descrizione verbale di gioco, diremo che è definito da uno stato iniziale,

dall’evoluzione, da uno stato finale e dal risultato. Portiamo un esempio concreto:

Il gioco dei fiammiferi

Stato iniziale: 2 mucchietti di 2 fiammiferi ciascuno.

Evoluzione: 2 giocatori a turno levano almeno un fiammifero. Possono farlo da un solo

mucchio.

Stato finale: tutti i fiammiferi sono stati tolti.

Risultato: chi toglie l’ultimo fiammifero perde.

Matematicamente: G ={N, S, P, n}

in cui N è l’insieme dei giocatori, S l’insieme delle strategie, P è l’insieme dei PAY OFF, n il

numero delle volte in cui il gioco viene ripetuto. Ciò definisce in modo univoco un gioco,

differenziandolo da ogni altro e creando una situazione ben precisa. E’ facile comprendere la

complessità di un gioco che comprenda numerosi giocatori, ciascuno in grado di scegliere

all’interno di un esteso insieme di strategie che possono dare un gran numero di diverse

combinazioni di pay off. Esso può essere anche ripetuto più volte, come ad esempio un’azione

militare da parte di uno Stato. 12

GIOCHI D’EQUILIBRI Matteo Marascio

PAY OFF

Letteralmente significa “buonuscita”. In TdG indica l’utile o la perdita inferta ad un agente

in seguito ad una sua scelta durante la partita. Un classico esempio di pay off sono i soldi:

nei giochi economici si ha un guadagno, una perdita o pay off nullo. Spesso però il pay off non

è quantificabile in denaro. Com’è possibile determinare il valore di una mossa nella dama o

negli scacchi? Il denaro non è quindi una misura universale. Anche negli stessi giochi

economici è difficile valorizzare con un’unità di misura il pay off. Una scelta può generare un

pay off positivo, ma peggiorare l’immagine di un’azienda (ad esempio la scelta di sfruttare i

propri lavoratori o di utilizzare bambini durante il processo produttivo) e viceversa un pay

off negativo può dare luogo ad un miglioramento dell’efficacia e dell’efficienza dell’impresa.

In sostanza l’unità di misura del pay off è un’entità astratta, che può essere determinata

solo a “giochi fatti”.

Spendiamo ancora due parole sull’utile. Esso viene definito da una funzione



u : S V

che lega ogni gruppo di strategie ai relativi valori, in funzione del tempo. La stessa strategia, o

meglio lo stesso gruppo di strategie può dare esiti diversi in condizioni di gioco diverse. Un altro

fattore chiave è il numero di volte per cui il gioco viene ripetuto: le strategie e l’utile variano a

seconda che si possa giocare una sola volta o più volte. Inoltre l’utile può essere espresso da

numeri negativi (perdita). Facciamo un esempio. Ci sono due persone, Aldo e Sara. Aldo

vorrebbe andare a vedere una partita di calcio, mentre a Sara piacerebbe guardare un film

romantico al cinema. Le strategie per ciascun giocatore sono quindi due: andare alla partita o al

cinema. Per convenzione indicheremo i due comportamenti con collabora (“C”) e non collabora

(“N”). L’utilità di Aldo (pay off) è data dalla seguente tabella:

Sara va alla partita Sara va al cinema

Aldo va alla partita X X

CC CN

Aldo va al cinema X X

NC NN

La tabella dei pay off di Sara è la seguente:

Sara va alla partita Sara va al cinema

Aldo va alla partita Y Y

CC CN

Aldo va al cinema Y Y

NC NN

E’ possibile unire le due tabelle per comodità

Sara va alla partita Sara va al cinema

Aldo va alla partita X Y X ; Y

CC; CC CN CN

Aldo va al cinema X ; Y X ; Y

NC NC NN NN

dove il primo valore indica l’utile di Aldo (o più generalmente del giocatore a sulla riga) mentre

il secondo quello di Sara (o del giocatore sulla colonna). Ovviamente ogni variabile assume un