La fattorizzazione dei polinomi

Indice

1. Somma o differenza di potenze di esponenti uguali:
2. Fattorizzazione dei trinomi
3. Raccoglimento a fattor comune
4. In altri casi
5. Potenze di un binomio
6. Quadrato di un trinomio

Somma o differenza di potenze di esponenti uguali:

• Differenza:
  • Esponente dispari

• Esponente pari

Vale la stessa cosa.

Inoltre però si può dividere per la somma delle basi:

ma si può anche scrivere:

(Segni alternati)

• Somma:
  • Esponente dispari:

È divisibile per la somma delle basi:

N.B.: se possibile, è meglio non partire da una potenza alta, ma dalla più bassa possibile

Es.: 4096x¹² – y²⁴ Non si fa la differenza di due potenze di grado 12, ma si parte da due:

* Qui la più bassa comune era
2, ma mentre la somma di due
quadrati non è fattorizzabile, la
somma di due cubi sì

Raccoglimento a fattor comune

Se c’è una parte in comune in tutti i monomi di un polinomio, si possono tirare fuori:
AB + AC + AD + A = A(AB/A+AC/A+AD/A+A/A) =
= A(B + C + D + 1)
Un caso particolare è il raccoglimento a fattor parziale: in quattro monomi ritornano sempre gli stessi pezzi:
AC + AD + BC + BD
Es.: 4x³ y + 4a² x³ – 2c³y – 2a²c³ =
Raccogliamo a fattor comune secondo 4x³ da una parte e secondo –2c³ dall’altra

adesso raccogliamo secondo y + a³:

Fattorizzazione dei trinomi

Ci possono essere due tipi di trinomi che possiamo fattorizzare facilmente:

• Quadrato di un binomio
  Quindi dobbiamo avere due quadrati concordi e un doppio prodotto di qualunque segno:
  4a² – 6ax + 9x² il primo e l’ultimo sono due quadrati, quello di mezzo è il doppio prodotto: (2a + 3x)²
  –4a² – 6ax – 9ax² togliamo i meno: –(4a² + 6ax + 9ax²) e procediamo –(2a + 3x)²
• Somma e prodotto
  In un qualunque trinomio x² + ®x + @ (dove ® ed @ sono dei numeri) possiamo effettuare una fattorizzazione se troviamo due numeri la cui somma sia ® e il cui prodotto sia @
  Es.: x² – 6x + 8 = x² + [(–4) + (–2)]x + [(–4)(–2)] =
  I due numeri sono i termini noti dei binomi lineari risultanti:
  = (x – 4)(x – 2)

Quadrato di un trinomio

È un polinomio della forma A² + B² + C² + 2AB + 2AC + 2BC. Bisogna individuare i quadrati e i doppi prodotti. I quadrati sono sempre positivi.
Es.: 9x² + 25y⁴ + x⁶ – 30xy² – 6x⁴ + 10x³y² = (–3x + 5y² + x³)²

Potenze di un binomio

Aⁿ + ©A^n–1 B + ©A^n–2 B² + ... + ©A B^n–1 + Bⁿ = (A + B)ⁿ
Bisogna trovare prima le potenze pure (Aⁿ e Bⁿ), risalire al binomio originale e controllare che i prodotti siano quelli giusti (i coefficienti © sono dati dal triangolo di Tartaglia).

Es.: x⁸ – 12x⁶y + 54x⁴y² – 108x²y³ + 81y⁴ =
Essendo il polinomio formato da cinque monomi, può essere una potenza quarta di binomio. Si risale alle potenze pure, cioè quarte potenze di un monomio: x⁸ = (x²)⁴ e 81y⁴ = (3y)⁴. Poi si controllano i vari prodotti. Dato che i conti tornano, si può fattorizzare come la differenza (perché i segni sono alternati, altrimenti la somma) di x⁸ e 3y⁴ alla quarta potenza.
= (x² – 3y)⁴

In altri casi

Se non possiamo applicare nessuno di questi casi procediamo con il teorema del resto: si prova con i numeri relativi divisori del termine noto del polinomio:
x³ + 3x² – 6x – 8
P(1) = 1³ + 3·1² – 6·1 – 8 = 1 + 3 – 6 – 8 = –10 Non va bene
P(–1) = (–1)³ + 3·(–1)² – 6·(–1) – 8 = –1 + 3 + 6 –8 = 0 Va bene

Quindi x³ + 3x² – 6x – 8 = (x + 1 *)(x² + 2x – 8)

* Ricordati di cambiare il segno

E si continua.