Due fatti sulla uniforme continuità 

R

−

+

limiti f (a ) e f (b ).

5.1 Un esempio concreto: equazioni differenziali e esisten-

za in grande

5.1 (Teorema(di esistenza e unicità in grande) )

Teorema

∈ × →

Siano T (0, +∞], f : [0, T ) continua e L > 0 una costante tale che

R R

|f − ≤ − ∀t ∈ ∈R

(t, y) f (t, z)| L|x y|, [0, T ) e x, y

∈

Allora per ogni u esiste una e una sola funzione u definita in [0, T ) a

R,

0 1

valori reali di classe C che risolve il problema di Cauchy

0 ∀t ∈

u (t) = f (t, u(t)), [0, T ) e u(0) = u

0

Come possiamo vedere, la lipschizianità gioca un ruolo più importante della

1

regolarità C . 6

In effetti essa pone un limite, per ogni h = 0

−

f (t, y + h) f (t, y) |≤

| L

h

e passando al limite. ∂f (t, y)

| |≤ L

∂y ∂f (t,y) ∈ ×

Essendo (t, y) arbitrario. deduciamo che è limitata in [0, T ) R.

∂y

Ciò comporta che escludiamo ogni funzione che abbia all’infinito. rispetto a y,

un comportamento quadratico o di ordine superiore.

Insomma un ruolo non da poco anche in qualcosa di materiale come le equazioni

differenziali.

6 Uniforme continuità e funzioni hölderiane

n m

⊆ →

Definizione 6.1 (funzioni hölderiane): Sia f : A è hölderiana

R R α

∃L ≥ ∃α ∈ ∀x, ∈ |f − ≤ −

quando 0 ed (0, 1] tale che y A (x) f (y)| L|x y|

5 α α−1

|x − |x − − −

Notiamo subito che se α > 1 allora y| = y||x y| = o(|x y|)

→

per x y. α

|f − ≤ −

Se è vero che (x) f (y)| L|x y| con α > 1 allora abbiamo che

− →

f (y) = f (x) + o(|x y|), per x y

Quindi otteniamo ∀x ∈

df = 0, A

x

Questo è il motivo per cui non si considerano funzioni con α > 1.

Anche da notare il fatto che le funzione hölderiane con α = 1 sono lipschiziane.

In chiusura consideriamo il rapporto con la continuità uniforme

Le funzioni hölderiane sono uniformemente continue, una volta scelto δ tale

α ≤

che valga Lδ ε

6.1 Un piccolo studio di funzione hölderiana

α

|x| ∈

Data la funzione f = con x > 0 e α (0, 1) e supponendo x > y > 0 e

≥

L 1 α α α

|x − | ≤ −

y L|x y|

quindi:

α

x

x α

− ≤ −

1 L 1

y y

Applicando una sostituzione ottengo x

α α

− ≤ −

(t 1) L(t 1) con t = y

α α

− − − ≥ ≤

Prendo ψ(t) = (t 1) L(t 1) e t 1 e cerco L tale che valga ψ(t) 0

ovunque. ≤

Ho che ψ(0) = 0 e calcolando la derivata la trovo sempre 0, per L = 1.

Dunque ψ(t) è non crescente

7 Il Teorema della farfalla

Viene qui riportato l’enunciato di un teorema relativo all’ uniformemente con-

tinuità che può, a volte, essere utile. 2

7.1 (teorema della farfalla )

Teorema

→ ∈

Sia f : uniformemente continua su Allora esistono a, b tali che

R R R. R

+

|f ⇐ ∀x ∈

(x)| a|x| + b R.

2 Per la dimostrazione vedere questo topic. 6