L'insegnamento della teoria della relatività: una visione culturale e trasformativa della fisica

L R L R

FIG. A FIG. B

Questo orologio consiste di una sorgente L (fig.A ) che manda un segnale luminoso verso l'alto,

dove a distanza h c'è uno specchio S, che riflette la luce verso il basso. Proprio accanto a L c'è un

rivelatore R che vede il segnale riflesso, lo conta, e trasmette a L il comando di emettere

istantaneamente un nuovo segnale (per il nostro scopo non ha importanza se un tale orologio sia più

o meno realizzabile nella pratica.).

Naturalmente l'intervallo di tempo tra due segnali successivi sarà il tempo impiegato dalla luce ad

∆τ.

andare e tornare, cioè 2h/c: questo tempo lo chiamiamo La più importante proprietà di un tale

orologio è che il suo periodo dipende esclusivamente dalla distanza fra sorgente-rivelatore e

specchio.

Supponiamo ora che l'orologio a luce sia in moto rispetto al nostro laboratorio, e vediamo come

appariranno le cose nel riferimento del laboratorio (fig. B). Mentre la luce sale, lo specchio si sposta

verso destra, e lo stesso fa anche il rivelatore: perciò la luce che arriverà a R viaggia obliquamente.

∆x

Chiamiamo lo spostamento dell'orologio nel tempo di andata e ritorno, e indichiamo con h,

∆t

come prima, la distanza verticale tra la sorgente e lo specchio. Vogliamo calcolare il tempo che

la luce ha impiegato a fare il percorso LSR. Lo spazio percorso è (teorema di Pitagora)

2 2 1/2

c∆t=2(h +(∆x/2) )

∆τ ∆τ:

2 2 2 2

da cui essendo c∆τ=h e quadrando si ha (c∆t) =c +∆x e isolando rispetto a

∆τ ∆t

2 2 2 2 2

c = c -∆x

da cui ∆ 2 2

x v

∆τ ∆ − = − ∆

2

= t 1 t

2 2

c c

ponendo 1

γ = 2

v

−

1 coefficiente di dilatazione

2

c

possiamo scrivere la relazione precedente come

∆t =γ∆τ

∆τ

gli orologi in moto ritardano! viene chiamato tempo proprio e rappresenta l’intervallo tra due

eventi che accadono nello stesso luogo. L’intervallo di tempo misurato da qualsiasi altro osservatore

è sempre maggiore del tempo proprio.

Si osserva che, a seconda del moto relativo con l’orologio a luce,nei diversi sistemi di riferimento

gli eventi emissione e ricezione avranno una diversa distanza temporale tra di loro e una diversa

distanza spaziale.

Tesi_Sormani 17

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Tuttavia si osserva che esiste una “particolare combinazione” di tali misure che è invariante:

∆τ ∆t ∆x ∆t ∆x

2 2 2 12 12 2 22 22

Infatti c = c - = c -

Se ne deduce l’invarianza dell’intervallo

∆s ∆t ∆x

2 2 22 22

= c - detto intervallo spazio-tempo

Se utilizzo la stessa unità di misura per tempo e spazio è c=1 e posso anche scrivere

∆τ ∆t ∆t ∆x

2 12 12 22 22

= -∆x = -

[In generale se v=hc (0<h<1) allora ∆x/h è lo spazio percorso da un oggetto che viaggia alla

velocità della luce nel tempo ∆t e, analogamente, h ∆t è il tempo impiegato da un oggetto che

viaggia alla velocità della luce per percorrere uno spazio ∆x.

Questo semplice ragionamento permette di definire un’unica unità di misura per il tempo e lo

spazio.

Dal momento che ∆x=c ∆t (e c è la stessa in tutti i sistemi di riferimento) è possibile esprimere

lo spazio con l’unità di misura dei tempi (∆t= ∆x/c) o viceversa (∆x=c ∆t) ].

Vediamo il significato di tale intervallo con alcuni problemi

Problemi

1) Far scintille su un razzo

Un razzo molto veloce,entra dal portone principale, percorrendo il lungo corridoio e esce dalla porta posteriore. Ad ogni

ticchettio dell'orologio del razzo questo emette una scintilla. La prima di esse scocca nello spazio di un millimetro tra

I'antenna del razzo in movimento e la penna che si trova nel taschino di Giovanni, l'osservatore nel laboratorio. La

seconda scintilla scocca quando I'antenna del razzo è in prossimità di una maniglia metallica posta 4,00000000 metri

oltre nel corridoio secondo la misura dell'osservatore del laboratorio, che registra tra queste due scintille un intervallo

temporale di 16,6782048 nanosecondi.

a. Qual è il tempo tra le scintille misurato in metri da Giovanni, l'osservatore nel laboratorio?

b. Qual è il valore dell'invariante spazio-temporale tra i due eventi, calcolato a partire dalle misure di Giovanni nel

laboratorio?

c. Prevedete: qual è il valore dell'invariante calcolato mediante misure nel sistema del razzo?

d. Qual è la distanza tra le scintille misurata nel sistema del razzo?

e. Qual è il tempo (in metri) tra le scintille misurato nel sistema del razzo? Confrontatelo con il tempo tra le stesse

scintille misurato da Giovanni nel sistema di riferimento del laboratorio.

f. Qual è la velocità di questo razzo misurata da Giovanni nel laboratorio?

SOLUZIONE:

Dati: evento A= scocca la prima scintilla

evento B= scocca la seconda scintilla -9

dt= intervallo temporale misurato da Gianni tra i due eventi= 16,6782048 ns (1 ns=10 s)

dx=intervallo spaziale misurato da Gianni tra i due eventi= 4m

a. Nel tempo dt la luce percorre uno spazio pari a cdt=(0,299792458m/ns )(16,6782048ns)=5m

2 2 2 2 2

b. dt -dx = (5m) -(4m) =9m

c. Il valore dell’invariante non cambia al variare del sistema di riferimento, pertanto anche calcolato nel sistema del

2

razzo resta 9m .

Tesi_Sormani 18

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d. Nel sistema del razzo le scintille avvengono sempre nello stesso punto, quindi dx=0

e. Siccome nel sistema del razzo i due eventi A e B hanno dx =0, in questo sistema di riferimento la distanza temporale

2 2 2

che si misura tra i due eventi è il tempo proprio dτ e, essendo dτ =dt -dx , avendo già calcolato l’invariante al punto b,

possiamo concludere dτ=3metri.

Da questo dobbiamo dedurre che il tempo intercorso tra le due scintille misurato da Giovanni è più lungo di quello

misurato sul razzo!

f. Secondo le misure del laboratorio il razzo si sposta di 4 metri in un tempo pari a 5 metri-luce. Perciò la sua velocità

nel sistema del laboratorio è pari a 4/5 di c.

Infatti la velocità del razzo è data da v= ∆x/ ∆t , dove ∆t=5 metri-luce=5m/c . Pertanto v=(4/5)c.

2) Protone, meteorite e nave spaziale

a) Un protone che si muove (rispetto al laboratorio) con una velocità pari a 3/4 di quella della luce attraversa due

rivelatori che distano tra loro 2 metri. Gli eventi 1 e 2 sono costituiti dai passaggi attraverso i rivelatori. Quali sono

le distanze spaziale e temporale tra i due eventi nel laboratorio, espresse in metri? Quali sono le stesse distanze nel

sistema del protone?

b) Un meteorite molto veloce proveniente dallo spazio interagisce con gli strati esterni dell'atmosfera terrestre,

creando una breve scia luminosa (evento 1 ) e poi continua la sua corsa fino a disintegrarsi nel Sole (evento 2) 10

11

minuti dopo (rispetto al sistema di riferimento della Terra). Assumete che il Sole disti 1 ,4960 x 10 metri dalla

Terra. Nel sistema di riferimento terrestre, quali sono le distanze spaziale e temporale, in minuti, tra l'evento 1 e

l'evento 2? Quali sono le stesse distanze nel sistema del meteorite?

c) Nel ventitreesimo secolo una nave spaziale lascia la Terra (evento 1 ) e viaggia al 95 percento della velocità della

luce fino ad arrivare a Proxima Centauri (evento 2), che dista 4,3 anni-luce dalla Terra. Nel sistema di riferimento

terrestre, quali sono le distanze spaziale e temporale, in anni, tra l'evento 1 e l'evento 2? Quali sono le stesse

distanze nel sistema della nave spaziale?

a) Dati: Evento1: passaggio del protone attraverso il primo rivelatore

Evento 2: passaggio del protone attraverso il secondo rivelatore

dx = distanza tra i due rivelatori misurata nel laboratorio = 2 metri

v = velocità del protone misurata nel laboratorio = ¾ di c

La distanza spaziale tra i due eventi nel laboratorio è dx=2m

Indico con dt la distanza temporale tra i due eventi nel laboratorio:

dt=dx/v=dx/(3c/4)=(8/3)metri-luce=2,66667metri-luce

Nel sistema del protone la distanza spaziale tra i due eventi è nulla, perché avvengono entrambi laddove si trova il

protone (che in questo sistema è fermo).

Pertanto l’intervallo di tempo tra 1 e 2 in questo sistema di riferimento è un intervallo di tempo proprio dτ che posso

calcolare a partire dagli intervalli dt e dx tra i due eventi misurati nel laboratorio :

2 2 2 2 2 2

dτ =dt -dx = (2,66667metri-luce) -(2 metri) =3,1111 m

pertanto dτ = 1,764 metri –luce che è un tempo inferiore a quello osservato nel laboratorio.

b. Dati: Evento1= scia luminosa

Evento2= disintegrazione

dt = distanza temporale tra i due eventi misurata sulla Terra=10 minuti

11

dx= distanza Terra-Sole misurata dalla Terra=1,4960 *10 metri

Per rispondere alla prima domanda (posto che dt è già espresso in minuti) dobbiamo esprimere la distanza Terra-Sole in

minuti-luce, ovvero dobbiamo calcolare il tempo (in minuti) impiegato dalla luce a percorrere il tragitto Terra- Sole;

osserviamo che ci serve esprimere c in metri al minuto. Per farlo basta osservare che la luce percorre in un minuto uno

8 8

spazio 60 volte superiore a quello che percorrerebbe in un secondo, pertanto c=2,99792458*10 m/s = 2,99792458*10

10

*60 m/min = 1,798754748*10 m/min. Così la distanza tra la Terra e il Sole è:

11 10

dx/c= (1,4960 *10 metri)/( 1,798754748*10 m/min) = 8,3169 minuti-luce

Tesi_Sormani 19

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Nel sistema che si muove col meteorite i due eventi avvengono nello stesso luogo; in questo sistema dunque l’intervallo

temporale che intercorre tra i due eventi è un intervallo di tempo proprio dτ , che si può calcolare grazie all’invariante

spaziotemporale ricavabile dalle misure di dt e dx nel sistema Terra:

2 2 2 2 2 2

dτ =dt -dx = (10 min) -(8,3169min) = 30,8292 (min)

da cui si ricava dτ=5,5524 min

Anche in questo caso osserviamo che il tempo intercorso tra i due eventi è più lungo se osservato dalla Terra, ovvero

che nel sistema solidale col meteorite il viaggio Terra-Sole è stato più breve.

c. Dati: Evento1= la nave spaziale lascia la Terra

Evento 2= la nave raggiunge Proxima Centauri

dx = distanza Terra-P.C. misurata sulla Terra = 4,3 anni-luce

v = velocità della nave spaziale = 95/100 di c

La distanza spaziale misurata sulla Terra tra i due eventi è dx = 4,3 anna-luce.

La velocità della nave spaziale può essere espressa come v = 0,95 anni-luce/anno

La distanza temporale (sempre misurata sulla Terra) è:

dt = dx/v = (4,3 anni-luce)/(0,95 anni-luce/anno)=4,53 anni

Sulla navicella l’intervallo spaziale tra i due eventi è 0, quindi l’intervallo te