La Teoria della Relatività  e lo studio dei buchi neri

La teoria della relatività e lo studio dei buchi neri

Liceo Scientifico L. Da Vinci

Gallarate (Va)

Elaborato di maturità scientifica

di

Massimiliano Leoni

Giugno 2010 ii

Science is not just a collection of laws, a catalogue of facts, it is a creation of human mind with its freely invented ideas and concepts. Physical theories try to form a picture of reality and to establish its connections with the wild word of sense impressions. A. Einstein and L. Infield

If Relativity is proved right the Germans will call me a German, the Swiss will call me a Swiss citizen, and the French will call me a great scientist.

If Relativity is proved wrong the French will call me a Swiss, the Swiss will call me a German and the Germans will call me a Jew. A. Einstein

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Sommario

Il lavoro presentato in questo testo nasce dalla curiosità suscitatami dalla Teoria della Relatività, formulata da Einstein nella sua versione finale nel 1915. Essa rappresenta una svolta fondamentale nel progresso dello studio della fisica moderna: all’alba del XX secolo, infatti, i fisici di tutto il mondo erano generalmente convinti di essere arrivati alla fine del loro percorso, riuscendo a descrivere qualunque fenomeno fisico con la meccanica Newtoniana e con l’elettromagnetismo di Maxwell, e ritenendo di dover apportare solo minime correzioni a queste due grandi teorie.

Un secondo motivo di interesse verso questa teoria è nato dalla trattazione scolastica che ne viene fatta: nelle aule è spesso affrontata solo la Relatività Speciale e, per questioni di tempo o complessità, molti aspetti vengono saltati o, peggio, esposti senza una adeguata dimostrazione. Questo, nel caso di una teoria così poco intuitiva come la Relatività, porta spesso ad incomprensioni o malintesi.

Il primo capitolo di questo elaborato riassume e precisa la Teoria della Relatività Speciale, con particolare attenzione ai postulati di partenza ed alle conseguenze di questa teoria.

Il secondo capitolo introduce i concetti principali necessari per trattare la Relatività Generale, soprattutto relativi alla nozione di spaziotempo.

Il terzo capitolo, che insieme al precedente costituisce il nucleo portante di questa prima parte, sposta l’attenzione verso le curvature dello spazio e del tempo, cercando di dare una spiegazione di cosa siano e che effetti si possano attribuire loro.

Il quarto capitolo ha la funzione di completare la panoramica sulla Relatività Generale tramite la trattazione, puramente descrittiva, di due capisaldi della teoria.

Il quinto capitolo espone le linee generali della descrizione dei buchi neri, sia dal punto di vista classico sia da quello relativistico.

Il sesto capitolo comprende la parte di calcolo numerico delle orbite secondo la teoria della gravitazione classica e quella di Einstein, e procede dalla descrizione dei due modelli utilizzati fino ad un’analisi dei risultati, con anche una valutazione dell’errore commesso e le relative conclusioni.

Tutto ciò è corredato da due appendici: nella prima sono riportati dei passaggi matematici il cui scopo è di completare la trattazione del primo capitolo, in cui non sono stati riportati per non appesantire il discorso, mentre nella seconda è riportato il codice C++ utilizzato per le simulazioni numeriche.

Ringraziamenti

Il lavoro presentato in questo elaborato è solo in parte frutto della fatica di colui che compare nel frontespizio. Tutto ciò sarebbe stato solo un miraggio senza l’indispensabile collaborazione di molte persone che in questi mesi mi hanno consigliato, supportato e sopportato.

Il primo speciale ringraziamento va all’Ing David Radice, mio Maestro e mia guida, che mi ha istruito, mi ha addestrato, mi ha iniziato a L TEX, a Linux, alla simulazione numerica e mi ha lanciato la pazza A idea di intraprendere questo viaggio, rifornendomi di bibliografia ed idee in abbondanza.

Vorrei inoltre ringraziare Luca Lussardi, PhD, che ha aggiunto la revisione di questo testo alla sua lista di lavori ben piú importanti, non risparmiandosi però il rigore e la precisione che da bravo matematico possiede in maniera eccellente.

Un altro contributo fondamentale è arrivato da Mattia ’Wedge’ Fumagalli, ormai dottorando di astrofisica extragalattica, che non si è risparmiato in commenti e critiche a questo lavoro, ma che in fondo ha sempre voluto farmi rimanere con i piedi per terra.

Un grande grazie va anche all’Ing Luca Barletta, dottorando in Ingegneria delle Telecomunicazioni, che ha sempre revisionato il mio lavoro, e che nel contempo ho cercato di ricompensare valutando, dal punto di vista linguistico, frammenti dei suoi.

Nell’elenco compaiono sicuramente anche tutti i miei amici del forum e tutti coloro che mi hanno aiutato a tenere viva la passione per la matematica e la scienza in generale.

http://www.matematicamente.it/forum

Tra questi ringrazio l’Ing Camillo Enrico ed i miei professori Franco Mario Colombo, PhD, e Gabriella Anselmi, che hanno cercato invano di sfuggirmi per i corridoi del liceo. iv

Indice

1 Cenni di Relatività Speciale 1

1.1 I postulati della Relatività Speciale . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Le trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . 3

2 Gli strumenti della Relatività 7

2.1 L’intervallo spaziotemporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 I diagrammi spaziotemporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Lo spaziotempo di Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Le geodetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Le curvature di tempo e spazio 14

3.1 Descrivere le superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 La curvatura del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 La curvatura dello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Il principio di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Cenni finali sulla Relatività Generale 21

4.1 La costante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Le equazioni di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 I buchi neri 25

5.1 Le caratteristiche dei buchi neri . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 I buchi neri dal punto di vista relativistico . . . . . . . . . . . 26

6 Simulazione numerica dell’orbita intorno ad un buco nero 29

6.1 Il modello classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2 Il modello relativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.3 Risultati delle simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.4 Una valutazione dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Conclusioni 37

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Indice vi

A Alcuni passaggi matematici omessi nel testo 38

A.1 La derivazione delle trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . 38

A.2 Relazione tra le formule della RS . . . . . . . . . . . . . . . . 41

B Codice utilizzato per le simulazioni numeriche 43

Capitolo 1: Cenni sulla teoria della relatività speciale

Pubblicata da A. Einstein nel 1905, la Teoria della Relatività Speciale (RS) rappresenta una svolta cruciale nell’evoluzione della fisica, descrivendone un modello piú ampio che mette in accordo le varie parti allora discordi.

1.1 I postulati della relatività speciale

La RS si basa interamente su due postulati: il primo di questi due principi fondamentali è la Legge di Propagazione della Luce [1] [2]

Postulato 1 (Legge di Propagazione delle Luce). È una legge fondamentale della fisica che la velocità della luce nel vuoto sia la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali e sia indipendente dal moto della sorgente e dell’osservatore.

La velocità della luce nel vuoto è una costante fondamentale della natura ed è indicata normalmente come c o c₀ e vale c = 299792458 m/s. Questo postulato è stato verificato sperimentalmente da Willem de Sitter (Sneek, 6 maggio 1872 – Leida, 20 novembre 1934), matematico, fisico ed astronomo olandese che lo dedusse dalle osservazioni di sistemi binari di stelle [3]. Il secondo postulato della RS è il Principio di Relatività Speciale [3][2]

Postulato 2 (Principio di Relatività Speciale). Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Il quale può anche essere espresso nel seguente modo [1]

Postulato (Principio di Relatività Speciale). Tutte le leggi della fisica sono le stesse per osservatori che si muovono di moto rettilineo uniforme o sono in stato di quiete. 1

1.2 Le trasformazioni di Lorentz

Questo principio era, anche all’epoca, un principio classico della meccanica: inizialmente formulato da Galileo all’inizio del XVII secolo, sembrava, trecento anni dopo, inadeguato a descrivere la realtà e crescevano i dubbi sulla sua validità, che invece Einstein ha riconfermato con la sua teoria.

Inoltre ha una seria implicazione: non esistono sistemi di riferimento privilegiati, ma tutti i Sistemi di Riferimento Inerziali (SRI) sono fisicamente equivalenti.

Il cuore della RS è costituito dalle Trasformazioni di Lorentz, ossia un sistema di quattro equazioni che permettono di descrivere, da un sistema di riferimento K, un generico evento di K⁰, SRI a K in moto con velocità u. Per una possibile derivazione delle Trasformazioni di Lorentz, si veda l’appendice A.1; per un procedimento di derivazione alternativo, si faccia riferimento a [4]. 2

Di seguito sono riportate le trasformazioni di Galileo e le trasformazioni di Lorentz.

x⁰ = x − ut

y⁰ = y

z⁰ = z

t⁰ = t

x⁰ = (x − ut) / √(1 − u²/c²)

y⁰ = y

z⁰ = z

t⁰ = (t − ux/c²) / √(1 − u²/c²)

Notiamo subito le principali differenze. La seconda e la terza equazione rimangono immutate: le trasformazioni espresse in questa forma, infatti, si applicano nel caso in cui il sistema di riferimento K⁰ sia inerziale ed in moto lungo l’asse x di K. Sebbene questa condizione possa sembrare limitativa, non lo è in realtà: poiché un SRI è tale se si muove di moto rettilineo uniforme, orientando il sistema K in modo tale che il suo asse x coincida con la direzione del moto di K⁰ si può ricondurre qualunque SRI al caso sopra descritto.

Nella prima e nella quarta equazione compare il fattore γ

γ = 1 / √(1 − u²/c²) (1.1)

Conosciuto anche come Fattore di Lorentz, è presente in molte delle principali equazioni delle Relatività Speciale. Inoltre notiamo che γ ha la particolarità di essere un numero puro, e riportiamo il suo grafico γ(x) dove x = u/c, nell’intervallo di interesse fisico [0; 1), in figura 1.1

La funzione γ(x) ha un asintoto verticale per x = 1, infatti sostituendo questo valore nell’equazione otteniamo un denominatore nullo. L’interpretazione fisica di ciò è che una velocità non può mai essere uguale a c, e siccome assumiamo che i corpi partano da fermi per poi accelerare, nessun corpo può raggiungere o superare la velocità della luce!

Inoltre, il fatto che lim_u→c 1 / √(1 − u²/c²) = +∞ avrà significative implicazioni, come si noterà in seguito.

1.3 Conseguenze delle trasformazioni di Lorentz

Per valori di x ≪ 1 (u ≪ c), l’effetto del Fattore di Lorentz non è apprezzabile, ma quando x si avvicina al valore 1, si registrano dei comportamenti particolari:

• Il tempo scorre piú lentamente. Questa è la fondamentale differenza tra le Trasformazioni di Galileo e quelle di Lorentz: la fisica classica è caratterizzata dal fatto di assumere il tempo come una grandezza assoluta, uguale per tutti gli osservatori ed in qualunque situazione (t⁰ = t). Nella fisica relativistica, invece, anche il tempo è relativo.

Riportiamo la relazione che lega un intervallo di tempo Δt⁰, misurato nel sistema K⁰, e l’intervallo Δt, misurato in K.

Δt = Δt⁰ · γ

Questo effetto prende il nome di Dilatazione di Lorentz poiché qualunque intervallo temporale appare dilatato rispetto al tempo proprio, generalmente indicato come t⁰, ossia il tempo misurato da un osservatore solidale agli eventi. In formule:

γ ≥ 1 ∀x ∈ [0; c) ⇒ Δt ≥ Δt⁰

• La massa aumenta. Anche la massa assume valori differenti in base al sistema di riferimento osservante; in particolare si può dimostrare la formula:

m = m⁰ · γ

dove m⁰ è la massa propria di un corpo.

Per questa grandezza valgono le stesse considerazioni fatte, al variare del fattore di Lorentz, per la dilatazione del tempo.

• Le lunghezze si contraggono. Come per il tempo, anche lo spazio dipende dalla velocità.

Δx = Δx⁰ / γ

In questo caso si parla di Contrazione di Lorentz, poiché le lunghezze trasformate sono sempre minori della lunghezza propria, Δx⁰.

γ ≥ 1 ∀x ∈ [0; c) ⇒ Δx ≤ Δx⁰

• Perdita del concetto di simultaneità. Un altro concetto base della meccanica classica è la definizione di simultaneità di due eventi. In meccanica relativistica due eventi che hanno in comune la coordinata temporale, t, ma non quella spaziale, x, non si mantengono simultanei nell’osservazione da un altro sistema di riferimento.

Si presti però particolare attenzione alla seguente considerazione: sebbene il concetto di simultaneità non abbia piú alcuna validità, rimane comunque valida la relazione di causalità: se un evento A è causa di un evento B, in nessun caso si osserverà accadere prima l’evento B.

• Modifica della legge di composizione delle velocità. Il teorema di Galileo sulla composizione relativistica delle velocità descrive la velocità v di un corpo in moto, con velocità v⁰, lungo l’asse x di K⁰, il quale è a sua volta in moto, con velocità u, lungo l’asse x di K.

v = u + v⁰

Poiché le velocità sono definite come rapporto di spazio e tempo, cambiando le espressioni che descrivono queste due grandezze (con le Trasformazioni di Lorentz) cambia anche la relazione sopracitata, evolvendo nella piú complessa

v = (u + v⁰) / (1 + uv⁰/c²)

• L’effetto Doppler. Una modifica alla formula dell’effetto Doppler non è esclusa dalle conseguenze delle trasformazioni di Lorentz: considerando la contrazione dello spazio e del tempo, è necessario dover modificare anche questa formula, per renderla coerente con il resto della teoria [1].

f = f⁰√((1 − v/c)/(1 + v/c))

f⁰ = f / √(1 − v²/c²)

• Legame tra massa ed energia. Qui incontriamo la piú famosa delle relazioni della RS: la celebre equazione tra massa ed energia.

E = m⁰ · c²

Questa formula ha da subito suscitato grande interesse e stupore per i fisici, principalmente per due motivi. Tramite essa, Einstein ha dimostrato che l’energia ha un’inerzia: tanta piú energia è fornita ad un sistema, tanta piú massa questo acquista e, di conseguenza, diventa piú difficile da accelerare [1].

Il secondo motivo è che questa equazione ha portato alla nascita dell’idea di una possibile conversione nel senso contrario, ossia ridurre la massa di un corpo per ottenere una grande quantità di energia.

È interessante mostrare come questa equazione si possa ricavare direttamente dall’equazione m = m⁰ · γ esposta poco sopra. Per non appesantire la trattazione, i passaggi sono riportati in appendice A.2.

Capitolo 2: Gli strumenti della relatività

Prima di presentare la Relatività Generale, è necessario introdurre alcuni concetti che ci saranno utili per il resto della trattazione. La differenza principale tra la teoria della Relatività Speciale e quella della Relatività Generale è che mentre la prima si può applicare solamente a SRI, la seconda ne è un’estensione, essendo valida per tutti i sistemi di riferimento, anche non inerziali¹. La RS diventa quindi un caso particolare della RG. In conseguenza della presenza di accelerazioni e variazioni istantanee, sostituiamo alle generiche variazioni delle grandezze (e.g. Δx) i loro differenziali (e.g. dx).

2.1 L’intervallo spaziotemporale

Come abbiamo visto, le trasformazioni di Lorentz fondono insieme lo spazio ed il tempo. Questo ha una importante conseguenza: la basilare nozione di distanza, che nelle situazioni comuni è ben definita (si pensi alla distanza tra due punti in