Riflessioni sull'insegnamento della matematica e in particolare della geometria

RIFLESSIONI SULL’INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E IN PARTICOLARE DELLA GEOMETRIA

Di Alfio Grasso di quest’anno

Sono un insegnante di matematica in pensione dal 1999 e, all’inizio scolastico, desidero sottoporre ai

colleghi docenti di questa disciplina nelle scuole medie superiori alcune considerazioni che, mi auguro, possano favorire

metodologico-diattico della nostra

un dibattito sull’aspetto dell’insegnamento materia.

Per ciò ho ritenuto possa essere interessante prendere le mosse dal

Resoconto del professore Vinicio Villani, del Convegno internazionale di Cagliari del 31-10-1981, sul tema:

“Metodiche attuali nell’insegnamento della Geometria nell’arco di studi pre-universitari”.

Sulla metodologia da seguire nell’insegnamento della matematica, vi è un consenso pressoché generale sui punti

seguenti:

- Le nozioni matematiche (siano esse definizioni, assiomi, simboli, teoremi o costruzioni di qualunque tipo) non

vanno imposte dall’alto, in modo puramente formalistico e acritico; occorre motivarle in base alle conoscenze

precedenti degli allievi e in funzione delle utilizzazioni future che se ne intendono fare. Ove possibile, si

coinvolgeranno gli alunni stessi nella costruzione delle nozioni matematiche, guidandoli a formulare

definizioni, a fare congetture e a dimostrarne la validità o a trovare contro esempi, a riscontrare analogie

strutturali, ecc.

- Vanno rispettati i ritmi naturali di apprendimento dei giovani; ciò implica la necessità di un insegnamento

ciclico, a “spirale”, ritornando sui medesimi argomenti in momenti successivi, con approfondimenti via via

maggiori e da punti di vista man mano più elevati, senza ricorrere ad astrazioni premature ma al tempo stesso

senza disperdersi in analisi troppo minuziose di situazioni particolari e prive di successivi sviluppi.

La strutturazione delle conoscenze in teorie organiche deve essere l’obiettivo finale di tutta l’attività didattica,

- ma non ne può costituire in alcun modo il punto di partenza.

Dopo queste premesse, affrontiamo la questione principale, che più direttamente riguarda il tema specifico di questa

esposizione: “quale dovrebbe essere il ruolo della geometria nel contesto di un insegnamento autenticamente rinnovato

della matematica”? La risposta è riassunta in cinque punti, che riflettono nella sostanza le opinioni di larga parte dei

matematici che si sono occupati del problema nei congressi internazionali dal 1950. più di quanto si usa insegnarne

a) Di geometria ne va insegnata parecchia, a tutti i livelli di scolarità; senz’altro

attualmente. Va rivalutato particolarmente lo studio della geometria nello spazio, dato il ruolo fondamentale

che una corretta visione spaziale svolge nei più diversi campi della matematica e delle sue applicazioni.

b) Occorre distinguere vari stadi di apprendimento degli allievi, e quindi varie forme di presentazione delle

nozioni geometriche. I diversi stadi non vanno visti però come compartimenti stagni, staccati fra loro; in ogni

stadio si devono riprendere e rielaborare le nozioni del livello precedente e preparare il terreno agli sviluppi

previsti nello stadio successivo.

Nella fase intermedia fra l’insegnamento “sperimentale” e l’insegnamento razionale degli ultimi anni della

c) scuola secondaria superiore occorre prevedere uno stadio di avvio al metodo della deduzione logica. Poiché

l’assiomatica di Euclide–Hilbert è troppo complessa (ventuno assiomi!) e quella vettoriale di Dieudonné

troppo astratta, ci si limiterà in questo stadio a familiarizzare gli allievi col metodo ipotetico-deduttivo su parti

circoscritte (ma significative) della geometria, senza la preoccupazione di costruire un sistema di assiomi

globale.

d) Una possibile sequenza degli stadi è la seguente (le indicazioni sulle età sono solo orientative e dipendono

anche dall’impostazione del corso di studi cui ci si riferisce):

I. Sperimentale e grafico 6-12 anni circa

II. Deduttivo in senso locale 13-15 anni circa

III. Sistemazione razionale 16-17 anni circa

IV. Geometria vettoriale 18-19 anni circa

V. Ripensamento critico

sul significato della geometria

e) Non esistono scorciatoie che permettano di saltare senza gravi inconvenienti alcuno di questi stadi. Pertanto il

tempo da dedicare all’insegnamento della geometria non può essere ridotto; anzi va aumentato, tagliando altri

rami secchi dei programmi. 1

Riflessioni sull’insegnamento della matematica e in particolare della geometria di Alfio Grasso

Qualche commento

Sul punto a). Dopo la crisi che ha investito l’insegnamento della matematica negli ultimi decenni, tutti hanno dovuto

costatare ancora una volta che la geometria rappresenta una fonte inesauribile e insostituibile di suggestioni intuitive, di

esempi, di esercizi, di problemi, di modi di pensare e di esprimersi, di modelli e di teorie matematiche.

b) esprime una verità ovvia, che però nella pratica dell’insegnamento

Il punto è spesso ignorata: troppe volte il docente

di un nuovo ciclo di studi enuncia pomposamente l’idiozia secondo cui gli allievi farebbero bene a “dimenticare” tutto

di ricostruire l’edificio dalle

quello che hanno appreso nel ciclo precedente, per consentire (a lui, naturalmente)

fondamenta! Quanto più utile e didatticamente efficace sarebbe se quel docente accertasse con domande informali - così

i giovani saranno meno intimiditi - le conoscenze già possedute dagli allievi e traesse spunto dalle risposte generiche, o

suo

ingenue, o errate, per motivare esigenze di precisione, di generalità, di rigore, del insegnamento!

L’aspetto indubbiamente più innovativo di queste proposte è il punto c).

L’idea di rinunciare alla presentazione di un’assiomatica globale per gli allievi che si avvicinano per la prima volta al

ma ha preso nuovo vigore negli ultimi trent’anni a seguito del fallimento, in

metodo ipotetico-deduttivo non è nuova,

fascia di età, sia dell’insegnamento tradizionale euclideo-hilbertiano,

questa sia di quello vettoriale di stampo

“modernista”. I vantaggi del metodo di “deduzione locale” sono innegabili: si assumono come vere alcune proposizioni

disposti ad ammettere, sia perché le ritengono “evidenti”, sia perché ne hanno una qualche

che tutti gli allievi sono conseguenze che “evidenti” non sono.

conoscenza dal ciclo precedente, e se ne deducono In questa fase ciò che conta è

far capire agli allievi che ci si basa sempre su determinati presupposti (gli assiomi della teoria) e che ragionando,

riflettendo su essi se ne possono ricavare, con deduzioni puramente logiche, delle conseguenze, la cui validità dipende

sperimentali o da nuovi ricorsi all’intuizione

unicamente dalla validità delle premesse e non da eventuali verifiche

significa proprio “riflessione”, “meditazione”). Avendo rinunziato a un’assiomatica globale, si

(ricordo che teorema

riesce ad arrivare assai più in fretta alla dimostrazione di risultati interessanti e non banali, giustificando così sul piano

In quest’ottica l’insegnante deve possedere un’assiomatica

psicologico la potenza e la bontà del metodo deduttivo.

– tali cioè da consentire sin dall’inizio un rapido accesso

sottostante semplice, dagli assiomi forti a teoremi interessanti

–

e non immediati ma intuitivi in quanto traducono proprietà dello spazio che ci circonda facili a verificarsi (a esempio

l’Assiomatica a base metrica L’enseignemet de la géométrie

esposta da Choquet nel volume del 1964 e le cui linee

Solo dopo un’attività

fondamentali aveva proposto al seminario internazionale di Royaumont in Francia nel 1959).

preliminare di questo tipo, negli anni successivi, sarà naturale porre il problema della ricerca di un sistema globale e non

ridondante di assiomi per tutta la geometria. Va da sé che non sarà necessario rifare tutta la geometria secondo

l’impostazione assiomatica scelta, ma basterà illustrare su qualche esempio significativo come ciò sia possibile.

La sequenza degli stadi elencati nel punto d) rispecchia sostanzialmente le idee espresse dalla maggioranza dei

matematici nei congressi internazionali dedicati all’educazione matematica. Tuttavia è opportuno ribadire ancora una

volta che non si tratta di una suddivisione rigida; molto dipende anche dalla struttura del sistema scolastico in cui ci si

trova a operare. Non è neppure detto che gli ultimi due stadi debbano essere sviluppati a fondo in tutte le scuole

secondarie superiori. Inoltre è inteso che in ogni stadio si possono usare liberamente tutti gli strumenti giudicati

adeguati agli scopi che ci si prefigge di raggiungere. A esempio, si potranno alternare ragionamenti di tipo sintetico con

ragionamenti numerici o algebrici e ricorrere tutte le volte che lo riterrà opportuno all’uso di sistemi di coordinate. Non

è escluso quindi che si parli di vettori geometrici anche prima dello stadio dedicato appositamente alla “geometria

vettoriale”. La novità che il quarto stadio vuole rappresentare rispetto agli stadi precedenti sta nel passaggio da

in’assiomatica essenzialmente geometrica a quella dell’algebra lineare. Ma, a differenza di ciò che propone Dieudonné,

secondo questo schema l’algebra lineare costituisce lo sbocco e la generalizzazione naturale di tutta una serie di attività

geometriche, non un loro semplice surrogato.

L’eventuale stadio di “ripensamento sul significato della geometria” è strettamente connesso allo stadio precedente. Una

volta compresa la convenzionalità dei sistemi di assiomi e la possibilità di sostituirne uno con un altro equivalente senza

con ciò alterare la teoria che si sta esaminando, si faranno riflettere gli allievi sulla possibilità di costruire anche sistemi

di assiomi tra loro non equivalenti; se si avrà tempo sufficiente a disposizione, sarà stimolante parlare delle geometrie

non-euclidee, delle geometrie finite, ecc.

Il punto e) rappresenta lo scoglio più difficile da superare. Caduta l’illusione “modernista” di poter saltare impunemente

a quello della “geometria vettoriale”, non

gli stadi intermedi, passando direttamente dallo stadio sperimentale-grafico

resta altra soluzione che cercare altrove il tempo necessario per svolgere organicamente tutto il programma di

geometria.

Per esempio, con riferimento ai programmi dei licei classici e scientifici, nell’ultimo anno dei primi e nel quarto anno

dei secondi sono previsti argomenti di goniometria e trigonometria. Sarebbe opportuno sfrondarli significativamente e

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