Curiosità  Matematiche

IBONACCI

Terne pitagoriche

Triangolo aritmetico e Quadrato di F ERMAT

Varie

Nomi citati nel testo

Bibliografia

Alcune costanti matematiche

Base del logaritmi neperiani, dal nome del matematico scozzese N :

APIER

1 1 1 1 1 1

e = 1 + !

+ !

+ !

+ !

+ !

+ !

+

... = 2 .

7182818284 59

...

1 2 3 4 5 6

Modulo dei logaritmi di B :

RIGGS lg = m = 0 .

434294482 ...

Radiante espresso in:

gradi (180/π) = 57°.29577951 = 57° 17′ 44″.806220

primi ....... = 3437′.746770

secondi ..... = 206264″.806220

Arco di un (espresso in radianti):

grado (π/180) = 0.017453293

primo ........= 0.000290888

secondo ......= 0.000004848

Pi greco

π = 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 …

Teoria degli errori:

rapporto costante tra l'errore medio e l'errore probabile = 1.483

inverso del precedente = 0.674

valore del prodotto costante della misura di precisione:

-0.5

per l'errore medio = 2 = 0.707

per l'errore probabile = 0.477

probabilità che l'errore di un'osservazione non superi:

metà dell'errore medio = 0.382

l'errore medio = 0.663

il doppio dell'errore medio = 0.954

Prefissi per le unità di misura

I primi 1000 numeri primi

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89

97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151

157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223

227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281

283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359

367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433

439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503

509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593

599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659

661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743

751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827

829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911

919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Aritmogeometria pitagorica

Esistono dei numeri multiformi come, ad esempio, il 36, che è quadrato,

rettangolare e triangolare.

Crivello di E

RATOSTENE DI CIRENE

E' un metodo che permette di trovare i numeri primi (numeri divisibili

esattamente per se stessi e per l'unità) inferiori ad un numero dato,

appartenente alla sequenza dei numeri dispari. Il metodo consiste nello scrivere

i numeri dispari inferiori ad un dato numero e nel cancellare di tre in tre

quelli dopo il 3, di cinque in cinque quelli dopo il 5 e così via. Quelli

rimanenti sono i numeri primi cercati.

Esempio, nella sequenza fino al numero dato 51: 2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 … cancellando, come descritto in

precedenza, rimangono solamente 2 3 5 7 - 11 13 - 17 19 - 23 - - 29 31 - - 37 -

41 43 - 47 - - … che sono i numeri primi cercati.

Fattoriale

Il fattoriale di un numero intero n è il prodotto dei numeri interi da 1 a n.

0! = 1

1! = 1

2! = 1·2 = 2

3! = 1·2·3 = 6

4! = 1·2·3·4 = 24

Nel calcolo combinatorio il fattoriale di un numero n dà il numero delle

permutazioni di n oggetti. Esempio:

a,b,c (n=3) 3! = 1·2·3 = 6 [ossia abc, bca, cab, acb, cba, bac]

I fattoriali dei numeri da 1 a 10 sono:

0! 1

1! 1

2! 2

3! 6

4! 24

5! 120

6! 720

7! 5 040

8! 40 320

9! 362 880

10! 3 628 800

Numeri amicabili

Due numeri interi a e b, vengono detti numeri amicabili se a è la somma dei

divisori di b e b è la somma dei divisori di a. I più piccoli numeri che

forniscono una coppia del genere sono:

220 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

284 = 1+2+4+71+142 = 220

altre coppie:

220 e 284 (P. de Fermat, 1636)

1184 e 1210 (N. Paganini, 1798)

2620 e 2924

5020 e 5564

6232 e 6368

10744 e 10856

12285 e 14595

17296 e 18416 (P. de Fermat, 1636)

63020 e 76084

66928 e 66992

67095 e 71145

69615 e 87633

122265 e 139815

141664 e 153176

142310 e 168730

171856 e 176336

176272 e 180848

196724 e 202444

308620 e 389924

437456 e 455344

503056 e 514736

522405 e 525915

609928 e 686072

1175265 e 1438983

1280565 e 1340235

1358595 e 1486845

9363584 e 9437056 (R. Descartes)

196421715 e 224703405

Numeri multiperfetti

I numeri multiperfetti sono quelli in cui la somma dei divisori, con l'aggiunta

del numero stesso, fornisce un valore multiplo intero del numero. Il multiplo

diviso per il numero, definisce l'ordine che può essere di tre (o triperfetto),

di quattro (o tetraperfetto), di cinque (o pentaperfetto), etc.

Esempio:

120 (1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120= 360)

(360/120 = 3 multiperfetto di ordine tre o triperfetto)

Numeri narcisisti

I numeri narcisisti sono quelli in cui la somma delle loro cifre, ciascuna

elevata alla terza potenza, dà lo stesso numero iniziale.

Numeri perfetti

I numeri perfetti sono quelli in cui la somma dei loro divisori (prima specie) o

il prodotto dei fattori (seconda specie) è uguale al numero stesso.

Numeri socievoli

Se si sommano i divisori del primo numero si ottiene il secondo, se si sommano i

divisori del secondo si ottiene il terzo e cosi via sino a che sommando i

divisori dell'ennesimo numero si ottiene di nuovo il primo.

Esempio:

12496, 14288, 15472, 14536 e 14264 (cerchio di 5 numeri)

Il cerchio più ampio di numeri socievoli include 28 numeri, il primo dei quali è

14316.

Poliedri regolari

Vengono anche chiamati Corpi Cosmici o Solidi Platonici (hanno facce di poligoni

regolari con gli angoli diedri uguali).

tetraedro esaedro ottaedro dodecaedroicosaedro

4 6 8 12 20

facce (f) 4 8 6 20 12

vertici (v) 6 12 12 30 30

spigoli (s) 3 4 3 5 3

lati x faccia

Relazione di E o di D : f+v=s+2

ULER ESCARTES

rapporto tra il lato e il diametro per ciascuno dei solidi regolari iscritti:

Il rapporto fra le superfici del dodecaedro e dell'icosaedro inscritti nella

medesima sfera è uguale al rapporto tra i loro volumi, e tale rapporto risulta

essere quello che esiste tra il lato dell'esaedro e il lato dell'icosaedro,

ossia: √{(10/[3·(5-√5)]}. I poliedri semiregolari (o Solidi Archimedei) sono

poliedri convessi le cui facce sono dei poligoni regolari ma non dello stesso

tipo. Sono possibili solo tredici poliedri semiregolari.

Come costruire modelli in cartone dei cinque poliedri regolari convessi:

Politopi regolari (figure geometriche quadrimensionali)

PENTACELLULA: analogo al tetraedro. Il relativo diagramma di S (proiezione

CHLEGEL

dei poliedri sul piano) è costituito da un tetraedro e da un punto interno,

nonché dagli spigoli che si ottengono congiungendo questo punto con i quattro

vertici del tetraedro.

IPERCUBO o TESSARATTO: ci appare costituito da due cubi uno interno all'altro e

dagli spigoli che si ottengono congiungendo i loro vertici limitato da otto cubi

(24 facce, 16 vertici e 8 spigoli). (un pentaratto è un quadrato a cinque

dimensioni formato da 8 tessaratto o 64 cubi).

SEDICI-CELLULA: ci appare come un tetraedro contenuto in un secondo tetraedro. I

vertici di questi due tetraedri sono collegati da segmenti. Essa sarà limitata

da 16 tetraedri e 32 triangoli equilateri (24 spigoli e 8 vertici).

VENTIQUATTRO-CELLULA: ci appare formata da un ottaedro contente al suo interno

un cubo ottaedro e, dentro questo, un secondo ottaedro. Essa sarà limitata da

104 ottaedri, 96 triangoli equilateri (96 spigoli e 24 vertici).

CENTOVENTI-CELLULA: è limitata da 120 pentagoni dodecaedri e 720 pentagoni (1200

spigoli e 600 vertici).

SEICENTO-CELLULA: è limitata da 600 tetraedri, 1200 triangoli equilateri (720

spigoli e 120 vertici). Problemi classici dell'antichità

Questi tre problemi dovevano essere costruiti mediante il solo uso della riga e

del compasso (2200 anni dopo fu dimostrato che ciò non era possibile).

1) quadratura del cerchio (1° problema di Atene): dato un cerchio costruire un

quadrato con l'area esattamente uguale a quella del cerchio.

2) trisezione dell'angolo (2° problema di Atene): dato un angolo qualsiasi,

costruire un altro angolo la cui ampiezza sia un terzo dell'angolo dato.

3) duplicazione del cubo (problema di Delo): dato un lato di un cubo, costruire

il lato di un secondo cubo il cui volume sia il doppio del primo.

Problemi di L V

EONARDO DA INCI

(1) Pensa ad un numero qualsiasi, moltiplicalo per due e aggiungi cinque. Ora

moltiplicalo per cinque, aggiungi dieci e moltiplica per dieci. Dimmi il

risultato. (se dal risultato si sottrae 350 e si divide per 100 si ottiene il

numero pensato).

(2) Si cerchi di formare un'espressione utilizzando le nove cifre fondamentali e

in ordine crescente in modo da avere come risultato il valore 100 e adoperando

soltanto i segni + e -. (Una soluzione è: 12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100)

Prova del nove

Consiste nell'effettuare la somma delle cifre di ciascun dato dell'operazione

fino ad ottenere un numero di una sola cifra. Si esegue poi, sui numeri

ottenuti, l'operazione relativa considerando che se nei passaggi si ottengono

numeri di più di due cifre si sostituisce ad essi la somma delle cifre stesse.

La prova è valida se il risultato così ottenuto è uguale alla somma delle cifre

del risultato dell'operazione data. Se la prova del nove riesce, l'operazione

può essere esatta (ma talora può essere errata), se non riesce l'operazione è

senz'altro errata. Quadrati magici

Un classico quadrato magico di ordine quattro lo troviamo in alto a destra

nell'incisione intitolata Melencolia (1514) di D la cui somma di ogni

ÜRER

colonna, riga, e diagonali principali è sempre 34. I numeri 15 e 14 in basso nel

quadrato indicano l’anno di realizzazione dell’opera.

16 03 02 13

05 10 11 08

09 06 07 12

04 15 14 01

In un quadrato magico, la somma dei numeri in ciascuna linea (orizzontale,

verticale e diagonale) è sempre la stessa e corrisponde alla costante magica del

2

quadrato la cui formula è n·(n +1)/2·dove n è il lato del quadrato in

considerazione. ordine costante magica quadrato di

3 15 Saturno

4 34 Giove

5 65 Marte

6 111 Sole

7 175 Venere

8 260 Mercurio

9 369 Luna

Ecco un gioco con un quadrato non magico: mettere in una busta chiusa un

foglietto con il numero 57. Far coprire un numero della tabella, quindi

cancellare gli altri numeri della stessa riga e colonna. Fare coprire uno dei

numeri rimasti e ripetere l'operazione. Continuare fino alla quinta cifra

coperta. Fare sommare i