Strutture matematiche della realtà tesina

AB

´ ´

diviso nei due segmenti e .

AC=1 BC=x−1

La partizione effettuata individua una sezione aurea se e solo se

vale la proporzione indicata da

Euclide, ovvero: ,

x :1=1 :( x−1)

x 1

= → 2

da cui: −x−1=0

x

1 x−1

Risolvendo l’equazione ottenuta si ottiene il valore del numero

aureo:

2 −x−1=0

x

∆=1+4=5

√

1 ± 5

=

x 1,2 2 √

1− 5

= =−0,618

x …

1 2 √

1+ 5

= =1,618

x …

2 2

x

La radice non ha significato geometrico in quanto numero

2 x

negativo. La soluzione è invece accettabile e il suo valore è

1

numero aureo phi:

detto o

φ=1,618033 988749894 …

Tra le caratteristiche di va innanzitutto sottolineato che si tratta di un

φ

numero irrazionale, poiché nella sua espressione di definizione compare una

radice quadrata non esatta, ma anche algebrico, dal momento che si ricava da

un’equazione polinomiale a coefficienti interi.

Definizione 2. Si definisce angolo aureo l’angolo al centro

che soddisfa rispetto alla circonferenza il

rapporto di proporzione aurea.

Dimostrazione . Considero la circonferenza suddivisa

C

nei due archi e tali che . Essa

a b a+b=c

risulta suddivisa nella sua media ed estrema

16

ragione quando la circonferenza sta all’arco maggiore

C a

come l’arco maggiore sta all’arco minore , ovvero:

a b

360 ° a

=

a b

Determino l’ampiezza dell’angolo aureo risolvendo il sistema:

b

a =φ a=φb a=222,5°

b 360 ° =137,5

b= °

a+b=360 ° φb+b=360 ° φ+1

L’angolo aureo ha dunque ampiezza pari a 137,5°, mentre il suo

esplementare ha ampiezza di 222,5°.

2. Proprietà elementari

Il numero aureo possiede delle proprietà stupefacenti che si estrinsecano nei

più diversi ambiti matematici, proprietà grazie alle quali esso è andato

affermandosi come ideale di armonia e bellezza in ogni tipo di produzione

artistica.

Proprietà 1. è l’unico numero non naturale il cui reciproco conserva

φ

interamente la parte decimale:

1 =φ−1

φ 1

2 2

−φ−1=0 −φ=1 =φ−1

φ → φ →

Dimostrazione: φ

n-esima

Proprietà 2. Ogni potenza di è uguale alla somma delle due

φ

potenze precedenti: n n−1 n−2

=φ +φ

φ

Dimostrazione: 2 2 1 0

−φ−1=0 =φ +

φ → φ φ

Moltiplico entrambi i membri per :

φ

3 2 1

=φ +φ

φ 4 3 2

=φ +

φ φ

5 4 3

=φ +

φ φ

… n-esima

Proprietà 3. Ogni potenza di è uguale alla somma del termine

φ

della successione di Fibonacci in posizione e del prodotto di

n−1

n-esimo

per il termine della stessa successione:

φ

n =a

φ φ+ a , con a termini della successionedi Fibonacci

n n−1 n

Dimostrazione: considero la successione di Fibonacci

{ }

=

a 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34 … .

n 17

Date le precedenti proprietà, si osserva che:

3 2 1 =( )

=φ +φ +φ=3

φ φ+1 φ+2

4 3 2 =( ) ( )=3

=φ + + +1

φ φ 2 φ+1 φ φ+2

5 4 3 =( )+ ( )=5

=φ +

φ φ 3 φ+ 2 2φ+ 1 φ+3

6 5 4 ( ) ( )=8

=φ +φ = +

φ 5 φ+ 3 3 φ+2 φ+5

7 6 5 =( )+ ( )=13

=φ +φ

φ 8 φ+5 5 φ+3 φ+ 8

8 7 6 =( )+ ( )

=φ +φ =21

φ 13 φ+8 8 φ+5 φ+13

… 18

3. Rappresentazioni notevoli

Un’approssimazione del valore di può anche essere ottenuta mediante

φ

due diversi procedimenti numerici entrambi basati su operazioni ricorsive che

coinvolgono il solo numero 1.

√ √ √

I. √

φ= 1+ 1+ 1+ 1+ …

Dimostrazione: 2

dall’equazione si ricava

=1+

φ φ

√ √ √ .

2 =

φ 1+φ → φ= 1+ φ

Sostituendo all’interno di ogni radice il valore di con

φ

√

l’espressione equivalente e ripetendo questa

1+ φ

operazione all’infinito, si ottiene un valore approssimato di

che è tanto più preciso quante più iterazioni sono state

φ

effettuate.

1 =

φ=1+ 1́

1

1+

II. 1

1+ 1+…

Dimostrazione: 2

dall’equazione , dividendo entrambi i membri

=1+

φ φ

1

φ=1+

per si ricava .

φ φ

Sostituendo al denominatore il valore di con

φ

1

1+

l’espressione equivalente e ripetendo infinite volte

φ

questa operazione, si ottiene un valore sempre più preciso

di .

φ

Un’ultima rappresentazione del numero aureo può essere formulata

adoperando il concetto di limite, come verrà illustrato nei paragrafi successivi.

2. Significato geometrico

(segmento aureo).

Rappresentazione 1 Per individuare il punto di un

E

´

segmento che lo divide nella sua media ed estrema

AB

ragione, si può procedere adoperando un metodo grafico nel

seguente modo: 19 ´

Il punto individua sul segmento iniziale la sua sezione aurea.

E AB

(rettangolo aureo).

Rappresentazione 2 Graficamente è anche possibile

costruire un rettangolo aureo, ovvero un rettangolo in cui il

3.

2 Traccio l’arco di

. Traccio l’arco di

1. Traccio il segmento circonferenza con centro

circonferenza con centro

´ perpendicolare ad

AC ´

´ B

C e raggio che

e raggio che BD

AC

´ tale che

AB individua sul segmento

individua sul segmento

´ ´

AB=2 AC ´

´ E

il punto

il punto AB

BC rapporto fra i lati corrisponde al numero aureo.

Il rettangolo è un rettangolo aureo. Per verificarlo posso

ADFH

´

AF

determinare il rapporto e controllare che sia uguale a . Se il quadrato

φ

´

AD ´ ´

di partenza ha lato unitario, ovvero , il lato del rettangolo è

=1

AD AF

√

´ √ √

AB 1 1 1 5 1+ 5

´ ´

uguale a: . Dunque il rapporto fra il lato

= + + = + =

AF MF= 1+

2 2 4 2 2 2

maggiore e il lato minore del rettangolo ´

2. Traccio il segmento FH

´

perpendicolare ad che

AB

H

interseca in il prolungamento

è: ´

del lato .

DC

√

1+ 5 .

´ √

AF 2 1+ 5

= = =φ

´ 1 2

AD

È interessante osservare come,

sottraendo ad un rettangolo aureo un

quadrato avente per lato il lato minore del rettangolo stesso, o parimenti

addizionandogli un quadrato avente per lato il lato maggiore del rettangolo, si

ottenga sempre un nuovo rettangolo

Figura 1 Costruzione della spirale aurea aureo. Sfruttando questa osservazione

o spirale logaritmica si può costruire una spirale detta

‘spirale aurea’ unendo con archi di circonferenza i vertici dei quadrati sottratti a

Figura 1.

rettangoli aurei annidati uno dentro l’altro, come illustrato nella Si

osserva che il polo della spirale coincide con l’intersezione delle diagonali dei

(Figura 1)

rettangoli aurei . Dal punto di vista analitico, la spirale aurea è un

particolare tipo di spirale logaritmica. 20

(spirale logaritmica).

Rappresentazione 3 La spirale logaritmica è una curva

di equazione bθ

( ) =r=a

f θ e dove è il raggio vettore, e sono numeri reali e

r a b

( ) è una funzione continua e monotòna dell’angolo θ

f θ

compreso fra e l’asse delle x. Isolando l’angolo si

r θ

ottiene: ( ) ( )

r r 1 r

bθ bθ = =bθ

r=a e → e → ln →θ= ln

a a b a

ovvero un’espressione che esprime in funzione di un

θ

logaritmo, da cui il nome. Inoltre, si ha che il parametro

, dove è l’angolo costante compreso fra il

(ψ ) ψ

b=cot g

raggio vettore e la tangente alla curva in ogni suo punto. A

causa di questa proprietà la spirale è anche detta

‘equiangolare’.

Dimostrazione . Ricavo l’equazione della spirale a partire dalla sua

γ

rappresentazione grafica sul piano

(Figura 2).

cartesiano (r

P ,θ)

Considero sulla curva il punto . Incremento

γ 1

l’angolo di un che individua

θ dθ (r +dr

P , θ+dθ)

su il punto .

γ 2

Facendo tendere a 0, la curva di

dθ P

centro a cui appartengono e

O 1

può essere approssimata ad una

P 2

circonferenza, quindi si può calcolare

l’arco compreso fra i due punti:

ds

2 πr ∙ dθ

⟶

=ds =rdθ

2 πr :2 π :dθ ds= .

2 π

Costruisco il triangolo rettangolo avente per cateti e . Vale la

dr rdθ

rdθ =tg (ψ )

relazione trigonometrica: ,

dr

Figura 2 Tratto di con angolo compreso fra il e la

ψ r

spirale logaritmica nel

piano cartesiano P

tangente a per ogni

P i

appartenente alla curva.

La relazione ottenuta è un’equazione differenziale a variabili separabili. Divido

per e inverto numeratore e denominatore:

dθ dr dθ

=

r )

tg(ψ

Integro entrambi i membri: 21 θ θ

dr dθ θ +c

∫ ∫ | | ( ) ( )

tg ψ tg ψ c

⟶ ⟶

= = + =e

ln r c r=e ∙ e

r ( ) ( )

tg ψ tg ψ

( )=b

c

Ponendo e , l’equazione della spirale può essere

cotg ψ

=a

e bθ

scritta in coordinate polari come: .

r=a e

La spirale logaritmica è stata definita da Cartesio come la traiettoria percorsa

da un punto che si muove di moto uniformemente accelerato su una semiretta,

che a sua volta ruota attorno alla sua origine. Una prima caratteristica

facilmente osservabile è che la distanza, detta “passo”, fra spire successive

non è costante come nelle spirali di Archimede, ma la distanza fra i bracci,

descritta dal raggio vettore, aumenta secondo una progressione geometrica;

per questo motivo viene anche chiamata “spirale geometrica o proporzionale”.

Si pu