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Sintesi
Questo appunto di Matematica tratta dal punto di vista concettuale i numeri primi, individuandone la definizione e le caratteristiche principali. Inoltre dopo una presentazione dettagliata sui numeri primi, si procederà con l'esporre un metodo per riconoscerli e distinguerli dai numeri composti.



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Cosa sono i numeri primi


Per definizione, i numeri primi sono numeri interi positivi aventi come divisori solamente due numeri distinti, ovvero
[math]1[/math]
e sé stesso. In altre parole, un numero primo è tale per cui debba essere divisibile per
[math]1[/math]
e per sé stesso. Diversamente, un numero che abbia più di due divisori viene detto numero composto.
I numeri primi sono infiniti, e la successione dei numeri primi è composta inizialmente dai seguenti numeri:

[math]2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...[/math]


Esempi di numeri composti sono, invece, i seguenti:

[math]4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, ... [/math]


Infatti, è possibile notare che, tramite la scomposizione in fattori primi, i numeri composti sono in realtà il risultato del prodotto dei numeri primi:

[math]4 = 2 \cdot 2[/math]


[math]6= 2 \cdot 3[/math]


[math]15= 3 \cdot 5[/math]


[math]18 = 2 \cdot 3 \cdot 3[/math]


[math]22 = 2 \cdot 11[/math]


[math]...[/math]


I numeri primi sono estremamente importanti per la teoria dei numeri e hanno da sempre interessato gli studiosi. Sin dall’antichità sono stati oggetto di studio. Basti pensare che persino gli antichi Greci hanno posto l’attenzione sui numeri primi è una testimonianza di ciò l’abbiamo negli Elementi di Euclide, scritti attorno al
[math]300[/math]
a.C.
Tuttavia, ad oggi diverse congetture relative al mondo dei numeri primi non sono state dimostrate, e a più di un secolo dalla loro formulazione abbiamo l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e quella dei primi gemelli.

Proprietà dei numeri primi


Il primo numero primo è il
[math]2[/math]
, numero pari, mentre tutti gli altri che seguono sono dispari.
Diversamente da quanto penseremmo, paradossalmente, il numero
[math]1[/math]
non rientra tra i numeri primi. Questo perché l’
[math]1[/math]
nella fattorizzazione in numeri primi, diversamente dagli altri fattori, si può ripetere infinite volte perché moltiplicando un numero per
[math]1[/math]
si ottiene nuovamente
[math]1[/math]
.
Dal teorema fondamentale dell’aritmetica sappiamo che per ogni numero esiste una e una sola scomposizione in fattori primi, ovviamente ad eccezione dell’ordine in cui poniamo i fattori che per via della proprietà commutativa del prodotto non influisce sul risultato finale.
Il motivo per cui
[math]1[/math]
non è numero primo è proprio il seguente: dal momento che nella scomposizione potremmo aggiungerlo infinite volte, si è convenuto a non considerarlo numero primo per non far perdere l’unicità della scomposizione in fattori primi.

Come riconoscere i numeri primi


Il test di primalità permette di riconoscere se un certo numero sia primo oppure no. Per riconoscere i numeri primi innanzitutto possiamo sfruttare a nostro favore i criteri di divisibilità per riconoscere tutti quei numeri che sono divisibili per certi numeri primi e quindi escluderli.
Ad esempio, tutti i numeri primi pari eccetto
[math]2[/math]
non sono numeri primi, in quanto sarebbero divisibili oltre che per
[math]1[/math]
e per sé stessi quantomeno anche per
[math]2[/math]
.
Tutti i numeri che terminano per
[math]5[/math]
non sono numeri primi oppure tutti i numeri la cui somma delle cifre è multipla di
[math]3[/math]
, eccetto
[math]3[/math]
, non sono numeri primi.
In questo contesto, ci torna molto utile la tabella dei numeri primi, che prevede un elenco di tutti i numeri primi fino ad un certo valore massimo. Ad oggi, gli infiniti numeri primi possono essere identificati con diverse formule e algoritmi, più o meno efficienti. Il numero primo più grande individuato finora sinora contiene
[math]24862048[/math]
cifre.
Un primo approccio, basato sulla definizione e molto lungo, per verificare se un numero è primo o no è quello di andare a controllare che il numero in questione
[math]n[/math]
non sia divisibile da nessun numero primo minore di
[math]n[/math]
. Per esempio per verificare che il numero
[math]17[/math]
sia un numero primo, basta osservare che non viene diviso dai numeri
[math]2[/math]
,
[math]3[/math]
,
[math]5[/math]
,
[math]7[/math]
,
[math]11[/math]
, e
[math]13[/math]
.



Un altro approccio, invece, è il crivello di Eratostene, un metodo antico focalizzare sull'individuazione dell'insieme dei numeri primi compresi fra due numeri naturali. Il metodo tiene conto dell'insieme dei numeri naturali compresi tra
[math]2[/math]
e
[math]x[/math]
, ed esclude i multipli dei numeri primi individuati in precedenza.
In termini di interpretazione geometrica, i numeri primi sono quei numeri che, a differenza dei numeri composti, non possono essere rappresentati come rettangoli composti da
[math]n[/math]
quadratini in cui i lati sono maggiori di
[math]1[/math]
. Ad esempio, il numero
[math]16[/math]
non è primo, perché può essere rappresentato come un rettangolo avente dei lati di misura
[math]4[/math]
e
[math]4[/math]
, invece il numero
[math]23[/math]
è un numero primo, perché non ammette nessuna rappresentazione geometrica di questo tipo.
Un altro noto test di primalità è quello di Rabin - Miller, il quale consiste in un algoritmo per determinare se un numero intero è primo. La sua versione originale, dovuta a Gary Miller, è deterministica, successivamente l'algoritmo è stato rielaborato in chiave probabilistica da Michael Rabin, analogamente al test di Fermat e al test di Solovay-Strassen. L'approccio prevede un costo computazionale più moderato e i calcoli da effettuare sono di carattere polinomiale.
I numeri primi sono considerati rilevanti e cruciali in molti ambiti della matematica, dalla matematica pura come ad esempio l'algebra o la geometria, fino ad arrivare ad ambiti quali la matematica applicata, come in particolare nella crittografia.

Per ulteriori approfondimenti sui numeri primi e l'ipotesi di Riemann vedi qui

Per ulteriori approfondimenti sui numeri primi e i criteri di divisibilità vedi qui
Estratto del documento

ALLEGATO A

ATTENZIONE ------MODALITA’ DI INTRODUZIONE DEL NUMERO -------

Se il numero è composto da meno di 256, introducilo, battendo

poi il tasto Invio due volte di seguito

Se il numero è composto da C cifre con C > 255 (max 510 cifre),

a) - introduci le prime C1 cifre del numero con C1< 256,

e batti quindi il tasto Invio

b) - introduci poi le rimanenti C2 cifre del numero (C2 = C-C1)

e batti di nuovo il tasto Invio

vuoi verificare se un numero è primo o composto ?

digita ver e premi poi tasto Invio

vuoi invece creare un numero primo random ?

digita crea e premi poi tasto Invio ESEMPIO n° 1

CREAZIONE di un numero PRIMO RANDOM

componi un numero digitando a caso tante cifre quante ne vuoi: premi poi tasto Invio

n°cifre: 10 20 30 40 50 60 70 80

--------------|----------------|---------------|---------------|---------------|----------------|---------------|---------------

|

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

( cifre del numero : 80 )

--------------------------------------------------------------------------------

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567997

è PRIMO

( n° di cifre : 80) tempo impiegato : 16 sec.

--------------------------------------------------------------------------------

N.B.: la probabilità che il numero non sia primo è inferiore a .000000000000001

valore delle 25 Basi: 1002000570 ; 4930706024 ; 809 ; 8470251560 ;

2144964933395 ; 302576541900634 ; 7208462953567 ; 859724760 ; 3 ; 5184698 ;

631949 ; 8724243 ; 391 ; 9236 ; 87201 ; 2521867 ; 454563200473 ;

68233889341354 ; 13870745 ; 21408790349 ; 51806 ; 847433745861; 9990118 ;

175989091396331 ; 58155924081802 14

15

ESEMPIO n.2

CREAZIONE di un numero PRIMO RANDOM

componi un numero digitando a caso tante cifre quante ne vuoi: premi poi tasto Invio

n°cifre: 10 20 30 40 50 60 70 80

---------------|---------------|---------------|---------------|----------------|---------------|---------------|-------------

--|

79410243508074656682742210202031024650091289724021350664728735334529862102345278

350110234357210234435074044676400123527

( cifre del numero: 119 )

-------------------------------------------------------------------------------

79410243508074656682742210202031024650091289724021350664728735334529862102345278

350110234357210234435074044676400123823 è PRIMO

( n° di cifre : 119 ) tempo impiegato : 36 sec.

--------------------------------------------------------------------------------

N.B.: la probabilità che il numero non sia primo è inferiore a .000000000000001

valore delle 25 Basi: 8433747 ; 172747313976287 ; 324325382 ; 90768 ; 8945 ; 8 ;

2485 ; 4128140211105 ; 704087734 ; 919163823127 ; 261 ; 5 ; 9 ; 2366539239 ; 2 ;

6414 ; 729486 ; 1477 ; 755294 ; 16086 ; 1854469180107 ; 4386218190193 ;

7171959280 ; 8179755806 ; 35054177045

ESEMPIO n.3

CREAZIONE di un numero PRIMO RANDOM

componi un numero digitando a caso tante cifre quante ne vuoi: premi poi tasto Invio

n°cifre: 10 20 30 40 50 60 70 80

---------------|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------|---------------|--------------

--|

86520003102798546532012945289798531997211223434567827243126882100023999689747613

12223546050555542227682435002165989745111224389752355502985753719458346537

( cifre del numero : 154 )

--------------------------------------------------------------------------------

86520003102798546532012945289798531997211223434567827243126882100023999689747613

12223546050555542227682435002165989745111224389752355502985753719458346917

è PRIMO

( n° di cifre : 154 ) tempo impiegato: 82 sec. = 1 ' e 22 sec.

--------------------------------------------------------------------------------

N.B.: la probabilità che il numero non sia primo è inferiore a .000000000000001

valore delle 25 Basi: 4100546 ; 7 ; 4340046 ; 194 ; 37195581197 ; 7775259613 ;

208495 ; 461670 ; 333856999874114 ; 841 ; 32197 ; 7021455 ; 904522001743 ;

132297694683074 ; 1822 ; 66404670476 ; 96802 ; 891005218 ; 4489706 ;

625947892665863 ; 6251307129 ; 561000 ; 3092749 ; 587 ; 6886 15

16

ESEMPIO n.. 4

CREAZIONE di un numero PRIMO RANDOM

componi un numero digitando a caso tante cifre quante ne vuoi: premi poi tasto Invio

n°cifre: 10 20 30 40 50 60 70 80

---------------|---------------|---------------|---------------|----------------|---------------|---------------|-------------

--|

65424121320102435989987897558753125538979942523763899412989265926576160125702125

87089416763556329267595295992246664646799764114205050483997916235438900022379759

76461404204073766791102040576763766776967997941102020101040564798910207989779116

41677

( cifre del numero : 245 )

--------------------------------------------------------------------------------

65424121320102435989987897558753125538979942523763899412989265926576160125702125

87089416763556329267595295992246664646799764114205050483997916235438900022379759

76461404204073766791102040576763766776967997941102020101040564798910207989779116

43057 è PRIMO

( n° di cifre : 245 ) tempo impiegato : 968 sec. = 16 ' e 8 sec.

--------------------------------------------------------------------------------

N.B.: la probabilità che il numero non sia primo è inferiore a .000000000000001

valore delle 25 Basi: 255420386 ; 203804790 ; 58397573232 ; 672464370727539 ;

98913729 ; 26418924331665 ; 39 ; 88835763 ; 90 ; 3911852836608 ; 508186 ;

697863578796 ; 81134283542 ; 51818132400 ; 6224831342 ; 5 ; 128832936 ;

6451773643 ; 330392241 ; 7232627868 ; 77217340 ; 4446886777877 ;

53276872634887 ; 951038479804 ; 8991694

ESEMPIO n. 5

CREAZIONE di un numero PRIMO RANDOM

componi un numero digitando a caso tante cifre quante ne vuoi: premi poi tasto Invio

n°cifre: 10 20 30 40 50 60 70 80

---------------|---------------|---------------|---------------|---------------|----------------|---------------|---------------

|

79421013002564682510256465087929122045676810256465798520400400456789597945586752

43166456742564620123566767497942479491223566899742516589458165176197146453120121

97017289710540504568975461234264676976545561642426123546567899497464919264656456

56400213208979840500526453738219575272435648278920231245430713102045

( cifre del numero : 308 )

--------------------------------------------------------------------------------

79421013002564682510256465087929122045676810256465798520400400456789597945586752

43166456742564620123566767497942479491223566899742516589458165176197146453120121

97017289710540504568975461234264676976545561642426123546567899497464919264656456

56400213208979840500526453738219575272435648278920231245430713103579 è PRIMO

( n° di cifre : 308 ) tempo impiegato : 1774 sec. = 29 ' e 34 sec.

--------------------------------------------------------------------------------

N.B.: la probabilità che il numero non sia primo è inferiore a .000000000000001

valore delle 25 Basi: 83432388305 ; 1509 ; 594665765762329 ; 55574977397918 ;

502 ; 6209957599639 ; 60736536979675 ; 67 ; 85972309 ; 37958967685 ;

620064973831 ; 784342 ; 29069 ; 63276457786 ; 898639082 ; 885122 ;

201795220375061 ; 6454641819 ; 606548190 ; 10101556777954 ; 11289799 ;

65816378 ; 720844626426 ; 910 ; 430388 16

17

ESEMPIO n.6

CREAZIONE di un numero PRIMO RANDOM

componi un numero digitando a caso tante cifre quante ne vuoi: premi poi Invio

n°cifre: 10 20 30 40 50 60 70 80

---------------|----------------|--------------|----------------|---------------|---------------|---------------|---------------

-|-|46763411144897978525272856610021323405073837995012508898256225671035370891989198

71647621416276126622617621635267121580786797494197960207570572346190247059193464

76764275331377969799796464764216767041000745440020013209769607100988886704102013

86564040102322223405007773405313205465556454656783001320491616528230075331054683

20135374311023435017979821320440135243528764653801230099044775775421202564665789

70102435897164652120405800789591020405738379949797949466501020300102435373434080

7083264677

( cifre del numero : 490 )

--------------------------------------------------------------------------------

46763411144897978525272856610021323405073837995012508898256225671035370891989198

71647621416276126622617621635267121580786797494197960207570572346190247059193464

76764275331377969799796464764216767041000745440020013209769607100988886704102013

86564040102322223405007773405313205465556454656783001320491616528230075331054683

20135374311023435017979821320440135243528764653801230099044775775421202564665789

70102435897164652120405800789591020405738379949797949466501020300102435373434080

7083266727 è PRIMO

( n° di cifre : 490 ) tempo impiegato : 11000 sec. = 183 ' e 20 sec.

--------------------------------------------------------------------------------

N.B.: la probabilità che il numero non sia primo è inferiore a .000000000000001

valore delle 25 Basi: 962317645549774 ; 21549254655838 ; 49406665563 ;

59484630823 ; 1274124979972 ; 7579690217971 ; 455967843532562 ; 65834 ;

8861200 ; 3 ; 4178 ; 72184234857559 ; 5121 ; 114304304122 ; 7853403 ;

809922397136688 ; 63097298145294 ; 341671407222 ; 582555294036865 ; 797 ;

139703512 ; 4055780 ; 79844856 ; 7087341547012 ; 15240311 17

18

ESEMPIO n.7

CREAZIONE di un numero PRIMO RANDOM

componi un numero digitando a caso tante cifre quante ne vuoi: premi poi Invio

n°cifre: 10 20 30 40 50 60 70 80

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123456789098765432123456789097

( cifre del numero : 30 )

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123456789098765432123456789249 è PRIMO

( n° di cifre : 30 ) tempo impiegato : 1 sec.

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N.B.: la probabilità che il numero non sia primo è inferiore a .000000000000001

valore delle 25 Basi: 1390167474746 ; 58268570 ; 950157046318 ; 382370948791 ;

45650684833 ; 5953853 ; 65806615352 ; 84 ; 36760 ; 608084 ; 772362589836120 ;

636363029 ; 27871239185333 ; 6207 ; 886 ; 873142242431640 ; 18981516 ; 633 ;

59 ; 8903551 ; 64 ; 708864 ; 898541450500 ; 418408036231994 ; 8

ESEMPIO n. 8

VERIFICA della PRIMALITA' di un numero

digita il numero e poi premi tasto Invio :

n°cifre: 10 20 30 40 50 60 70 80 -

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89797944951313132313103031233430313234005430312004567689779945211242537341323435

373839404040213354010234357008079833773734231533453378373443311339

( cifre del numero : 146 )

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89797944951313132313103031233430313234005430312004567

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adminv15
26 pagine