Teoria dei giochi: i prestiti

T B

@

@ @

II s s

@

b

A

A

L R

A

A

A

s s

A

a c

Queste game form, siano esse in forma strategica od estesa, si prestano

bene ad una interpretazione del seguente genere. Il Giocatore I può deci-

dere se prestare oppure no una certa somma a II, il quale può decidere se

restituirla o no.

Riscriviamo allora le game form dando dei nomi più espressivi (?) alle

strategie, alle possibili scelte, dei giocatori.

\ R NR

II

\

I

P a c

NP b b 2

c

Teoria dei Giochi Fioravante Patrone

I

s

@ @ NP

P @

@ @

II s

s @

b

A

A

NR

R A

A

A

s s

A

a c

Naturalmente sarà interessante passare a considerare il gioco. Per poterlo

fare, ci servono le preferenze dei giocatori. Si tratta di immaginare quali

possano essere le preferenze “normali” dei giocatori, in questa situazione. E’

ragionevole ipotizzare che le preferenze possano essere:

a b c per I,

c a b per II.

Per I, ci aspettiamo infatti che una persona “normale” (dove la “nor-

malità” si riduce alla bieca considerazione di preferire di avere più soldi che

meno), abbia per l’appunto quelle preferenze. Diamo per scontato, in altre

parole, che il prestito preveda che II restituisca a I una somma significa-

tivamente maggiore rispetto a quella ricevuta. Dove il “significativamente”

vuole dire che la somma che I ottiene è tale da rendere il prestito appetibile

rispetto ad altre opzioni di investimento. Non si tratta di una restrizione

effettiva: se cosı̀ non fosse, non si porrebbe neanche la questione se prestare

o no. Non a caso, se b fosse preferito anche ad a, la scelta N P sarebbe ba-

nalmente fortemente dominante per I. Appunto, il problema di prestare non

si pone. . .

Per II, ciò che sarà fondamentale per il seguito è che lui preferisca c ad

a, e questo è del tutto “normale”. Tuttavia, si può osservare (osservazione

oziosa, ma l’ozio è il padre di tutte le virtù) che è sensato assumere che a b.

La ragione della richiesta del prestito sta infatti nella possibilità da parte di

II di poter investire quanto riceve in una qualche forma di attività reale,

che sia in grado di controbilanciare ampiamente la passività finanziaria cui

va incontro. In altre parole, dovrebbe essere per lui preferibile onorare il

prestito al fatto di non ottenerlo per nulla. In effetti, questa considerazione

“oziosa” riguardo alle preferenze di II avrà una ricaduta importante dal

punto di vista della valutazione dei risultati in termini di efficienza. 3

c

Teoria dei Giochi Fioravante Patrone

Detto questo, possiamo passare alla rappresentazione dei giochi cosı̀ ot-

tenuti. Come al solito, useremo funzioni di utilità per rappresentare le pre-

ferenze. Supporremo quindi che:

f (a) = 2, f (b) = 1, f (c) = 0 per I,

g(c) = 2, g(a) = 1, g(b) = 0 per II.

Mi limito ad osservare che l’assegnazione del valore 2 alle alternative

migliori è arbitraria, per lo meno se abbiamo due decisori “di von Neumann

e Morgenstern”. Sarà quindi opportuno evitare di trarre conclusioni frutto

solo di questa scelta nostra, arbitraria.

Vediamo i giochi che otteniamo:

\ L R

II

\

I

T (2, 1) (0, 2)

B (1, 0) (1, 0)

I

s

@ @

P NP

@

@ @

II s s

@

(1, 0)

A

A

R NR

A

A

A

s s

A

(2, 1) (0, 2)

Abbiamo, come è immediato verificare, un unico equilibrio di Nash, che

è anche perfetto nei sottogiochi, e che può essere ottenuto per eliminazione

iterata di strategie strettamente dominate. Insomma, sembra agevole predi-

re cosa avverrà. E, naturalmente, la predizione è che I non farà il prestito.

Contrariamente a quanto avviene nel gioco classico “di Selten”, qui non ab-

biamo il problema di una minaccia non credibile, ma di una promessa non

credibile. Ovvero, II ha tutto l’interesse a promettere che restituirà il pre-

stito, ma una volta ottenutolo, la sua razionalità lo porterà a non restituire

quanto dovrebbe. 4

c

Teoria dei Giochi Fioravante Patrone

Cosa c’è di male in questo esito? E’ che si tratta di un esito inefficiente.

Si noti il ruolo significativo della assunzione fatta sulle preferenze di II, per

poter affermare questo.

A questo punto è il momento di fare entrare in scena lo Stato. Il suo ruolo

è quello di fornire gli incentivi (o, meglio, disincentivi) adeguati per ottenere

un risultato migliore.

Lo Stato modifica l’esito c in modo da renderlo meno appetibile per II di

a. Sostituiremo allora l’esito c con un altro esito d. Si noti che noi (lo Stato)

1

stiamo modificando la game form . Perché lo facciamo? Perché abbiamo una

funzione di benessere sociale della quale non ci interessa conoscere i dettagli:

ci basta sapere che predilige gli esiti paretiani (ovvero, soddisfa la condizio-

ne che viene solitamente detta di unaninità, in questo contesto). Quindi,

2

imponiamo una restrizione piuttosto debole su quella che è la funzione di

benessere sociale dello Stato (anche se vi sono restrizioni non dette, come al

solito: ad esempio, è “welfarista”, o non ha, ad esempio, particolari obiettivi

a livello degli esiti: niente Rawls, e niente “functionings” alla Sen; nessun

interesse per gli aspetti procedurali, per giunta).

Domanda: lo può fare, lo Stato? La risposta è essenzialmente positiva,

anche tenendo conto delle varie accezioni che può assumere il verbo “potere”.

Diamo per il momento per scontato che abbia la potestà di modificare

la “game form”. Per poterlo fare in modo opportuno, ovvero coerente con

la sua funzione di benessere sociale, gli basta modificare, come detto, l’esito

c. Un modo semplice di farlo è quello di introdurre una penalità per II (si

noti che non occorre intervenire sull’esito c in relazione ad I). La penalità

non è arbitraria. Essa deve soddisfare la condizione fondamentale che II

preferisca a a d. Ci si riesce? Una volta tanto, non sembra essere di fronte

ad un compito particolarmente difficile (cosa che invece capita di frequente,

3

quando si parla di preferenze dei soggetti coinvolti ). Il prestito prevede che

1 Non potremmo cambiare le preferenze? Il sistema scolastico, nella sua funzione ideo-

logica di creare “buoni cittadini”, potrebbe servire allo scopo. O le prediche, vengano da

classici pulpiti o da loro sostituti.

2 Al solito, dovunque si possono annidare i pericoli di una analisi poco attenta. Potrebbe

benissimo succedere che una particolare specificazione della funzione di benessere sociale

possa non rendere interessante, appetibile, questo intervento. Oppure lo potrebbe rendere

impossibile.

3 Finché non si potrà legalmente usare una macchina della verità efficace. Anche se può

essere opportuno andarci cauti, perché potremmo avere effetti collaterali indesiderati. In

riferimento alla nota 1, si potrebbe anche pensare di infilare direttamente le preferenze

appropriate nella testa dei decisori. Non sto associando a caso queste due annotazioni:

hanno entrambe la caratteristica di essere “futuribili”, ma mica tanto in là nel futuro. . . (e

infatti, su “la Repubblica”, 3 giorni dopo avere scritto queste note: “Sunumu Tonega-

wa, premio Nobel e direttore del Picowar Institute for Learning and Memory, studia le

5

c

Teoria dei Giochi Fioravante Patrone

II restituisca una certa somma ad I. Se II fa il furbo, non gli dà niente.

E, allora, è sufficiente imporre che II paghi una multa superiore alla somma

che avrebbe dovuto restituire. Si noti che non serve a nulla imporre che II

4

dia questa somma, od una parte di essa , ad I. Va benissimo se la multa è

pagata allo Stato.

Quello che è importante è il basso requisito, in termini di informazione,

che richiede la modifica efficace della game form.

Insomma, possiamo immaginare che il gioco diventi (scrivo solo la forma

strategica, la forma estesa dovrebbe essere del tutto ovvia).

\ L R

II

\

I

T (2, 1) (0, 0.9)

B (1, 0) (1, 0)

Si noti la particolare magnanimità della penale: si lascia a II persino un

po’ di surplus...

Possiamo davvero assumere che le cose siano cosı̀ semplici? Si noti che

ci siamo messi in un contesto deterministico. Cosa succede se c’è un po’ di

incertezza? Al di là di assumere che i decisori si confacciano alle condizioni

richieste dalla teoria delle decisioni in condizioni di incertezza, potrebbero

subentrare delle considerazioni di un certo interesse. Una è che le valutazioni

degli attori coinvolti (i due giocatori e lo Stato) riguardo ai fattori di incer-

tezza potrebbero non coincidere. Un’altra, ancora più interessante, è che II

potrebbe non voler restituire il prestito non per “cattiveria”, ma perché è fal-

lito e per giunta questo potrebbe non essere neanche colpa sua (una catena di

eventi sfortunati): se vogliamo assegnare rilievo al principio di responsabilità

personale, potremmo non essere lieti di punire il giocatore II anche qualora

non sia colpa sua (ma ciò apre la porta alla possibilità di dichiarazioni non

veritiere da parte di II sulla sua enorme “sfortuna”. . . ).

Rimanendo nel nostro piccolo mondo, per giunta deterministico, si noti

che lo Stato, con il suo intervento, è in grado di realizzare un surplus sociale!

menzogne ed è convinto che presto uno strumento grande come un berretto da baseball

permetterà di leggere e analizzare dati da miliardi di neuroni per stabilire rapidamente

chi dice bugie e chi è sincero: ‘Per arrivarci ci serviremo di ingegneri e fisici interessati in

tecnologie totalmente nuove e metodi non invasivi di scannerizzazione del cervello’.”)

4 Si potrebbe, ad esempio, pensare che la “punizione” per II preveda di risarcire, co-

munque, I della somma dovuta, ed aggiunga poi una multa. Queste procedure sono molto

diffuse. Si invita il lettore a riflettere sul perché questo avvenga.