In questo appunto viene trattato il moto parabolico con angolo nullo, tale situazione è un caso particolare di moto parabolico con angolo di lancio nullo perciò tutta la trattazione può essere ricavata adattando le formule del moto parabolico e imponendo che l’angolo di lancio è nullo. In seguito verrà trattato in modo approfondito tale moto, verranno spiegate le caratteristiche e verranno proposte le formule di alcuni elementi fondamentali. Alla fine di questo appunto viene anche proposto un esercizio svolto su tale moto.
Moto parabolico con angolo nullo
Il moto parabolico deve il suo nome al fatto che un corpo che si muove di moto parabolico ha una traiettoria descritta da una parabola.
In questo appunto, analizzeremo il caso in cui un corpo venga lanciato orizzontalmente per non cadere.
Difatti, il moto parabolico è dato dalla composizione di due moti: il moto rettilineo uniforme (lungo l'asse x) e il moto rettilineo uniformemente accelerato (lungo l'asse y).
In seguito riportiamo le leggi orarie del moto lungo l’asse x e y:
x(t)=x_0+v_0 \cdot (t-t_0) \\
y(t)=y_0+\frac{1}{2} g (t-t_0)^2
\end{cases}[/math]
In genere il sistema di riferimento viene preso con l’origine degli assi sul punto che ha come x la posizione di inizio del moto e che ha come coordinata y il livello del suolo quindi nel caso di un oggetto che viene lanciato orizzontalmente da una certa altezza (H) la posizione iniziale dell’oggetto ha coordinata x nulla mentre ha come coordinata y l’altezza H in cui si trova quindi si ha che:
In genere si considera anche che il conteggio del tempo avviene quando l’oggetto inizia il suo moto perciò:
Ricordiamo che il sistema di riferimento e il tempo di inizio del moto possono essere scelti in modo arbitrario però dalla scelta del sistema di riferimento dipendono tutte le grandezze quali tempo e posizione perciò in generale è conveniente scegliere il sistema di riferimento in modo da semplificare al massimo i calcoli; nel caso di un oggetto che viene lanciato orizzontalmente da una certa altezza è conveniente considerare come centro del sistema di riferimento il punto sopra descritto.
Note queste condizioni sulle posizioni iniziali e sul tempo iniziale è possibile riscrivere le leggi orarie del moto come segue:
x(t)=v_0 \cdot t \\
y(t)= H -\frac{1}{2} g t^2
\end{cases}[/math]
Un esempio di moto parabolico è il seguente, ipotizza che una biglia rotoli lungo un tavolo ad una certa velocità, e una volta sorpassato il bordo del tavolo cada verso il basso oltre a continuare il suo moto lungo l'asse x. Il moto orizzontale lungo l’asse x non risente di alcuna accelerazione perciò per il secondo principio della dinamica il corpo si muoverà di moto rettilineo uniforme (l’accelerazione è nulla) mentre il moto lungo la verticale al suolo quindi lungo l’asse y risente dell’accelerazione di gravità che è diretta verso il basso quindi l’oggetto si muoverà di moto rettilineo uniformemente accelerato verso il basso. Se si compongono tali due moti si ottiene una traiettoria parabolica.
La distanza dal punto di partenza al punto di arrivo del corpo che si muove di moto parabolico è chiamata gittata (G) ed è esprimibile con la seguente formula:
Dove
è la velocità iniziale del corpo, mentre
è il tempo di volo.
La gittata si può ricavare dalle leggi orarie del moto.
La gittata è la distanza dal punto di partenza al punto di arrivo, se si considera come posizione iniziale il punto che ha coordinare (
), il punto finale avrà come coordinate (
), l’ordinata è nulla perché in tale punto l’oggetto tocca nuovamente il suolo il quale ha coordinata y nulla dato che è stato preso come riferimento.
Perciò per trovare tale distanza è possibile riscrivere le leggi orarie nel punto che ha coordinate (
) e risolvere il seguente sistema:
G=v_0 \cdot t \\
0= H -\frac{1}{2} g t^2
\end{cases}[/math]
La gittata compare nella prima equazione ma non può essere ricavata direttamente in quanto non si conosce il tempo; per risolvere il sistema si procede quindi esplicitando il tempo nella seconda equazione e sostituendolo nella prima, si esegue qualche semplificazione e si ottiene l’espressione riportata in precedenza per la gittata.
Il tempo di volo si calcola sempre secondo la legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato e può essere ricavato esplicitandolo dalla seconda equazione, facendo ciò si ricava la seguente formula:
Dove H è l'altezza da cui cade il corpo.
In genere per risolvere i problemi sul moto parabolico nei quali non si hanno informazioni sul tempo è sempre molto utile scrivere le equazioni del moto nelle due direzioni fondamentali, sostituire i dati caratteristici del punto che si sta considerando, esplicitare il tempo in una equazione e sostituire l’espressione nell’altra equazione.
Per ulteriori approfondimenti sul moto parabolico con un angolo di lancio vedi anche qua.
Per ulteriori approfondimenti sulla parabola vedi anche qua
Moto parabolico con angolo nullo: esercizio svolto
Facciamo un esercizio per assimilare meglio il concetto.
Un proiettile viene sparato da un castello che si trova a 130 m di altezza, con l'intenzione di colpire una nave che si trova a 474 m di distanza. Sapendo che la velocità iniziale del proiettile è 92 m/s, la nave sarà colpita?
Svolgimento
Dobbiamo capire se la Gittata è uguale a 474 m.
A questo punto:
Allora la nave viene colpita!
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