Tutto sugli asintoti: rettilinei e curvilinei

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ASINTOTI CURVILINEI

ASINTOTI RETTILINEI

Una funzione algebrica o trascendente y=f(x) ha un asintoto obliquo

quando sono finiti i limiti  f x

( ) = m

lim

 → ∞

x x

 [ ]

 − =

f x mx q

lim ( )

 → ∞

x

E l’equazione dell’asintoto è y=mx+q

Per le funzioni algebriche razionali fratte (cioè quelle costituite dal

rapporto fra due polinomi), ciò significa che una funzione del tipo

f x

( )

=

y (con il numeratore di grado n ed il denominatore di grado d)

g x

( )

ammette l’esistenza di un asintoto obliquo quando n-d=1, cioè quando il

numeratore è un polinomio di un grado superiore al grado del polinomio a

denominatore.

Fin qui la teoria degli asintoti che è generalmente nota a tutti.

Vediamo ora cosa avviene se una funzione algebrica razionale fratta

f x

( )

=

y ha il numeratore di 2, 3 o più gradi superiore al grado del

g x

( )

denominatore, cioè se n-d=2, n-d=3 ecc.

ASINTOTI PARABOLICI

Nel caso in cui n-d=2 si ha (con evidente generalizzazione del criterio

precedente)  f x

( ) = a

lim

 → ∞

x 2

x



  

f x

( ) − =

ax b

lim

  

→ ∞

x x

 

 [ ]

 2

− − =

f x ax bx c

lim ( )

→ ∞

x





e l’asintoto è una parabola con equazione

2

y=ax +bx+c

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ASINTOTI CUBICI

Nel caso in cui sia invece n-d=3 si ha in modo analogo

 f x

( ) = a

lim

 → ∞

x 3

x

  

 f x

( ) − =

ax b

lim

  

→ ∞

x 2

 

x



  

f x

( ) 2

− − =

 ax bx c

lim  

→ ∞

x x

 

 [ ]

 3 2

− − − =

f x ax bx cx d

lim ( )

 → ∞

x

e l’asintoto è una cubica di equazione

3 2

y=ax +bx +cx+d

e così via per valori maggiori di n-d.

ESEMPIO n.1

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ESEMPIO n.2

ESEMPIO n.3