Teoremi di Rolle e Lagrange

Teorema di Rolle e teorema di Lagrange

Il teorema di Rolle afferma che, data una funzione f(x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a; b] e soddisfatte le seguenti tre condizioni:
1. f(x) deve essere continua nell’intervallo [a; b], ovvero non devono esserci punti di discontinuità,
2. f(x) deve essere derivabile (ossia deve avere una derivata finita) nell’intervallo aperto ]a ; b (ovvero non è necessario che sia derivabile agli estremi),
3. f(a) = f(b), ovvero la f(x) assume valori uguali agli estremi dell’intervallo,
allora esisterà almeno un punto stazionario c interno all’intervallo [a; b] per il quale f’(c) = 0, ovvero nel quale la derivata prima vale 0.
Il teorema di Lagrange è la generalizzazione del teorema di Rolle: prende in considerazione il caso in cui f(a)≠f(b), ma sono rispettate le condizioni 1 e 2. Il teorema di Lagrange afferma, graficamente, che considerando la retta passante per i due estremi, esiste almeno un punto c (appartenente al grafico della funzione) in cui la tangente (passante per c) è parallela alla retta passate per gli estremi. vale la relazione matematica [f(b)-f(a)]/(b-a) = f’(c) dove (f(b)-f(a)]/(b-a) è il rapporto incrementale che definisce il coefficiente angolare della retta, il quale corrisponde alla derivata calcolata nel punto c (f’(c)). La conferma che il teorema di Rolle costituisca un caso particolare del teorema di Lagrange è rappresentata dal fatto che nel primo, poiché f(a)=f(b), f’(c)=0. Come conseguenza del teorema di Lagrange è possibile affermare che, data una funzione y=f(x) definita in un intervallo I e derivabile nei punti interni ad I, essa è crescente se in ogni punto interno ad I la sua derivata prima è positiva (f’(x)=[f(x2)-f(x1)]/(x2-x1)>0), infatti così come x2>x1, anche f(x2)>f(x1); la funzione sarà invece decrescente se in ogni punto interno ad I la sua derivata prima è negativa (f’(x)=[f(x2)-f(x1)]/(x1-x2)x1, f(x2)