Teorema di Weierstrass: dimostrazione ed esempi di applicazione

In questo appunto verrà prima di tutto enunciato il teorema di Weierstrass, un teorema abbastanza intuitivo (ma non immediato da dimostrare) relativo alle funzioni continue. La definizione di funzione continua è molto semplice e a tratti informale: una funzione è continua se è possibile disegnare il grafico della funzione senza mai staccare la matita dal foglio.

Enunciato del Teorema di Weierstrass

Sia

una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato denotato con

.

Allora

assume almeno un valore minimo e almeno un valore massimo nell'intervallo

.

Il teorema di Weierstrass a livello grafico

Prodursi un'immagine mentale del teorema di Weierstrass è piuttosto facile. Si consideri un intervallo

, un intervallo qualsiasi sull'asse delle

scelto in maniera casuale, e si disegni una linea curva senza mai alzare la matita dal foglio che sia il grafico di una funzione in detto intervallo. Non importa quale sia la curva che avremo disegnato, essa avrà sempre un punto che si trova più in alto di tutti gli altri e uno che si trova più in basso di tutti gli altri: questi sono il minimo e il massimo di cui parla il teorema.
Per approfondimenti sulla continuità, vedi anche qua.

Dimostrazione del teorema di Weierstrass

In questa dimostrazione faremo vedere che una funzione

avente le caratteristiche richieste dall'enunciato possiede un valore massimo; per quanto riguarda l'esistenza di un valore minimo, si procede in maniera similare. Sia dunque

una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato

, ma per assurdo supponiamo che essa non assuma nessun valore massimo: faremo vedere che questo ci porta a conclusioni contraddittorie, il che ci consentirà di dire che un valore massimo deve invece necessariamente esistere. Sia

l'insieme dei valori assunti dalla funzione

sull'intervallo

, e sia

l'estremo superiore, eventualmente infinito, di

. Per le proprietà dell'estremo superiore, possiamo costruire una successione

di punti appartenenti all'intervallo

tale che:

.

Se dividiamo l'intervallo

in due parti uguali, dal momento che la successione

uno qualsiasi di questi punti. Se dividiamo in due parti uguali la parte di

cui appartiene

, dal momento che essa contiene ancora infiniti punti della successione

, una delle due nuove parti conterrà sicuramente a sua volta infiniti punti di

; sia

uno qualsiasi di questi punti. Ripetendo questo procedimento infinite volte, costruiamo una successione

estratta dalla

con la proprietà che la distanza tra due

consecutivi tende a 0 all'aumentare di

. Ci prova che la successione

converge a un punto

dell'intervallo

poiché quest'ultimo intervallo è chiuso.

Calcoliamo adesso

:

La seconda uguaglianza vale perché la funzione

è per ipotesi continua, mentre la terza perché se la successione

tende a

allora certamente anche la

, da essa estratta, tende a

. Con questo abbiamo provato che esiste un punto

cui

associa il valore

, e che quindi

, cioè

Perciò

, che è l'estremo superiore di

e gli appartiene, è il massimo di

, contro l'ipotesi fatta che

non assumesse valore massimo. Ciò risulta contraddittorio, e per questo motivo, come abbiamo detto all'inizio, possiamo concludere che un massimo per

Ipotesi della limitatezza dell'intervallo

Nel corso della dimostrazione precedente, l'ipotesi di limitatezza di

interviene quando si comincia a sezionarlo: la convergenza della successione

risultante da questo processo infatti assicurata dal fatto che i suoi punti diventano via via più vicini, dal momento che le parti in cui viene diviso l'intervallo diventano sempre pi piccole. Ciò non sarebbe vero se l'intervallo non fosse limitato.

Ipotesi della chiusura dell'intervallo

L'ipotesi di chiusura di

viene invece utilizzata dopo aver trovato

, al fine di poter affermare che

; questo fatto in generale avviene solo per gli insiemi chiusi. Si consideri infatti la successione

nell'intervallo limitato ma non chiuso

: in questo caso il limite della successione vale 0, ma

.

Ipotesi della continuità della funzione

Infine, l'ipotesi di continuità della

viene adoperata, come già evidenziato nella dimostrazione, per giustificare l'uguaglianza:

Risulta allora evidente che tutte e tre le ipotesi del teorema di Weierstrass sono essenziali al buon funzionamento della dimostrazione, e che qualora qualcuna di queste non fosse rispettata la funzione potrebbe essere priva di minimo o massimo nell'intervallo dato.

Conclusioni sulle ipotesi del Teorema

Se tutte le ipotesi del teorema di Weierstrass sono rispettate, allora la

ammette minimo e massimo nell'intervallo. Se invece qualche ipotesi non verificata, nulla si può concludere riguardo la funzione; in particolare

Esempi di applicazione del teorema di Weierstrass

Funzione continua in un intervallo chiuso e limitato.
Consideriamo la funzione di equazione

e l'intervallo chiuso e limitato

. Il grafico relativo a questi dati è rappresentato nell'immagine seguente:

Dal momento che la

è un polinomio, essa è senz'altro una funzione continua in ogni possibile intervallo della retta reale, quindi in particolare anche in

); tale intervallo poi è chiuso e limitato, proprio come richiesto dalle ipotesi del teorema di Weierstrass. Il teorema risulta perciò applicabile, e la funzione deve dunque possedere sia minimo sia massimo nell'insieme considerato. Il grafico conferma quanto scoperto per via teorica.
L'effettivo calcolo delle coordinate del minimo e del massimo è invece un'operazione più complessa, la quale richiede la conoscenza del concetto di derivata di una funzione. Nel nostro caso risulta semplice calcolare il massimo, che è

.
Per approfondimenti sulle derivate, vedi anche qua.

Esempio 2: Funzione continua in un intervallo non chiuso.
Facciamo adesso l'esempio della funzione

, relativamente all'intervallo aperto a destra

. Il grafico di tale funzione è rappresentato nell'immagine seguente, nella quale è anche raffigurato in grigio il resto del grafico del seno di

.

Come sappiamo, il seno possiede dei minimi nei punti del tipo

dei quali in particolare il punto

appartiene all'intervallo dato: dunque, per quanto riguarda l'intervallo

, è di certo verificata l'esistenza di un punto di minimo per la funzione. Se calcoliamo il limite seguente:

ci accorgiamo che la

considerata non ammette massimo nell'intervallo. Infatti il limite mostra come sia possibile raggiungere valori tanto vicini a 1 quanto si vuole, ma non 1 stesso poiché

Esempio 3: funzione discontinua.
La funzione che esaminiamo adesso è quella di equazione

nell'intervallo chiuso e limitato

, il cui grafico è rappresentato nell'immagine seguente:

Poiché l'intervallo che ci interessa è simmetrico rispetto all'origine e la funzione è dispari, ci basta esaminare quel che succede per

allo scopo di avere un'immagine completa della situazione. Se

, la nostra funzione si riduce a

con

. Dal momento che il coseno assume i minimi per

e i massimi per

, si vede subito che nell'intervallo considerato non ci sono punti né di un tipo né dell'altro. Ci resta da considerare cosa accade per

. Svolgendo i limiti:

scopriamo che la funzione non è affatto definita per

, ma possiede in tal punto una discontinuità di prima specie. Allora la funzione non ha punti di minimo o punti di massimo nell'intervallo dato, ed effettivamente poiché in tale intervallo

non è continua, in virtù dell'osservazione fatta sull'ipotesi di continuità, il teorema di Weierstrass non può essere applicato.
Si noti che qualora l'intervallo interessante fosse stato invece un po' più ampio, tale da contenere

, come risulta dal grafico in grigio

avrebbe avuto sia minimo, sia massimo, nonostante naturalmente il teorema di Weierstrass sia ancora non applicabile. Ciò è in completo accordo con l'osservazione fatta sulle funzioni ove il teorema di Weierstrass non è applicabile: non possiamo stabilire, per loro, a priori l'esistenza di massimi e minimi.