TEOREMA DI DE L'HOPITAL

Supponiamo di dover calcolare

[math]\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}[/math]
e supponiamo che il limite si presenti come forma indeterminata del tipo:
[math][\frac{0}{0}][/math]
o
[math][\frac{\infty}{\infty}][/math]
.
Supponiamo inoltre che siano verificate queste tre ipotesi:


--> 1. Le funzioni

[math]f(x)[/math]
e
[math]g(x)[/math]
sono derivabili in un intorno di
[math]x_{0}[/math]
(tranne eventualmente in
[math]x_{0}[/math]
)


--> 2.

[math]g'(x)\ ≠\ 0[/math]
nell'intorno di
[math]x_{0}[/math]
(tranne eventualmente in
[math]x_{0}[/math]
)


--> 3. Supponiamo che

[math]\lim_{x \to x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/math]
del rapporto tra le derivate esista (finito o infinito)


Se è vero ciò allora il teorema ci garantisce che il limite che volevamo calcolare dà come risultato esattamente quello che si ottiene facendo il limite del rapporto tra le derivate sempre nello stesso punto

[math]x_{0}[/math]
. Quindi:


[math]\lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}\ =\ \lim_{x \to x_{0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/math]


Per fissare meglio le idee vediamo subito un esempio di come si utilizza concretamente il teorema. Per fare ciò proviamo a calcolarci:


[math]\lim_{x \to 0} \frac{sin(2x)}{x^{2}+x}[/math]


Vediamo che se proviamo a sostituire

[math]0[/math]
al posto della
[math]x[/math]
si convince subito che siamo in una forma indeterminata del tipo
[math][\frac{0}{0}][/math]
. Dunque:


[math]\lim_{x \to 0} \frac{sin(2x)}{x^{2}+x}\ =\ [\frac{0}{0}][/math]


A questo punto cerchiamo di capire se possiamo usare il teorema di Hopital. Per fare questo cosa dobbiamo controllare?

- In primis che le funzioni

[math]f[/math]
e
[math]g[/math]
che sono rispettivamente quelle al numeratore e al denominatore della frazione che stiamo considerando, siano delle funzioni derivabili in un intorno in questo caso di
[math]0[/math]
; ed effettivamente vedete che sia il seno di
[math]2x[/math]
che la funzione
[math]x^{2}+x[/math]
sono funzioni continue derivabili dappertutto e quindi in particolare lo sono anche in un intorno di
[math]0[/math]
.

- La seconda cosa da controllare è che

[math]g'(x)\ sia\ ≠\ 0[/math]
nel nostro caso in un intorno di
[math]0[/math]
. Ed effettivamente se andiamo a calcolarci
[math]g'(x)=2x+1[/math]
vedete che non ci sono problemi perché quella funzione lì in un intorno di
[math]0[/math]
è diversa da
[math]0[/math]
.

- Come terza cosa dobbiamo andarci a calcolare il limite per

[math]x[/math]
che tende ad
[math]x \to 0[/math]
e del rapporto tra le derivate. Conoscendo già la derivata del denominatore, dobbiamo calcolarci la derivata del numeratore (la derivata di
[math]sin(2x)\ =\ 2cos(2x)[/math]
e ci si convince subito che questo limite esiste, infatti:


[math]\lim_{x \to 0} \frac{2cos(2x)}{2x+1}\ =\ \frac{2}{1}\ =\ 2[/math]


A questo punto essendo tutte e tre le ipotesi verificate possiamo applicare il teorema che ci garantisce che questi due limiti:


[math]\lim_{x \to 0} \frac{sin(2x)}{x^{2}+x}\ =\ [\frac{0}{0}]\ =\ \lim_{x \to 0} \frac{2cos(2x)}{2x+1}\ =\ \frac{2}{1}\ =\ 2[/math]


sono uguali tra loro e quindi il risultato che stavamo cercando, cioè il

[math]\lim_{x \to 0} \frac{sin(2x)}{x^{2}+x}[/math]
, effettivamente è uguale a
[math]2[/math]
.

Per quanto riguarda le tre ipotesi, di solito la 1 e la 2 sono sempre verificate quindi non sono queste che di solito creano problemi nell'applicabilità del problema, viceversa è la 3 che in particolare bisogna testare tutte le volte perché quello che succede è che ogni tanto uno si fa il limite del rapporto tra le derivate e succede che o questo limite non esiste oppure è di nuovo una forma indeterminata.


COSE DA EVITARE!

1. Usare il teorema quando non si è in presenza di una forma indeterminata.

Esempio di possibili tentazioni:

[math]\lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{x}[/math]


e il caso possibile di sbaglio è quello di fare il limite delle loro derivate e quindi si ottiene:

[math]\lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{1}\ =\ 1[/math]


Ecco questa cosa chiaramente non funziona, e non funziona perché il limite di partenza non dava luogo ad una forma indeterminata infatti se proviamo a fare un'analisi di sostituendo spudoratamente

[math]0[/math]
vedete che al numeratore avremo
[math]e^{0}=1[/math]
e al denominatore terremo
[math]0[/math]
e quindi il risultato di questo limite è
[math]+\infty[/math]
non è una forma indeterminata. Quindi:


[math]\lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{x}\ =\ +\infty[/math]


2. Usare il teorema quando il limite del rapporto delle derivate non esiste.

[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{x+sin\ x}{x}\ =\ [\frac{\infty}{\infty}]\ =\ \lim_{x \to +\infty} \frac{1+cos\ x}{1}\ =\ N.E.[/math]


Come possiamo osservare, non possiamo applicare il teorema di Hopital se il limite delle derivate non esiste. Quindi come andava risolto? L'idea giusta era quella di separare la frazione in due frazioni, quindi avremo avuto:


[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{x+sin\ x}{x}\ =\ [\frac{\infty}{\infty}]\ =\ \lim_{x \to +\infty} [1+(\frac{sinx}{x})\to 0]=1[/math]

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