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Continuità delle funzioni



Una funzione è continua in x0 se:
x0∊D;
∃ finito lim┬(x→x_0 ) f(x).
Ne deriva che vi sono tre tipologie di discontinuità:
I specie/discontinuità di salto: il limite dx e sx sono diversi;
II specie/discontinuità di asintoto: il limite dx e/o sx è uguale a ±∞;
III specie/discontinuità eliminabile: il limite dx e sx sono uguali, ma la funzione non è definita in x0.

Tali punti di discontinuità vanno cercati: sulla frontiera del dominio, dove la funzione cambia e dove cambia il valore assoluto. In questo punto è perciò necessario calcolare I limiti da sinistra e destra.
Teoremi delle funzioni continue:
Teorema di Weierstrass: se f(x) è continua e definita in [a,b], allora in [a,b] f(x) assume un valore di minimo e massimo;
Teorema dei valori intermedi: se f(x) è continua e definita in [a,b], allora in [a,b] f(x) assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo;
Teorema di esistenza degli zeri: se f(x) è continua e definita in [a,b] e f(a)f(b) Questo teorema viene utilizzato nel caso in cui venga chiesto se f(x) e g(x) si incontrano in un dato intervallo (oppure se f(x) assume un valore in un dato intervallo): considero la funzione h(x)=f(x)-g(x) e verifico il teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo dato.