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Teorema del confronto

Dati: [ ]

( ) ( ) < ( ) ∀ ∈

<h

f x x g x x a, b

e ( ) = ( ) = l

lim f x lim g x

x → x x → x

0 0

allora: ( ) = l

lim h x

x → x 0 ( )

h x

Se è stretta tra due funzioni di cui conosciamo il limite, allora anche il limite di

( )

h x è uguale a quel limite.

| |

( ) ( ) ( ) < l +

∀ ∃ ∀

> 0 > 0 < <

ε δ ε : x : x − x δ ε l − ε f x ε

1 0 1

| |

( ) ( ) ( )

∀ ∃ ∀

> 0 > 0 < < l + ε

ε δ ε : x : x − x δ ε l − ε g x

2 0 2 ( ) < (

l − ε < f x g x) < l + ε

Bisogna trovare un intorno comune: ( )

h x

Ma a questa espressione si può aggiungere perché abbiamo detto che

( ) ( ) < ( )

<h

f x x g x.

Quindi: ( ) < ) < (

l − ε < f x h( x g x) < l + ε

Da cui: ) < l +

l − ε < h(x ε

( ) ( )

l l

h x h x

Quindi tende a l, ovvero cade in un intorno di l. Ovvero, assume sempre valori compresi tra le altre due funzioni.

Facciamo un esempio pratico: lim sin x 0. Applichiamo il Teorema del confronto:

  • x → 0 = = F. I.

x 0

Teorema del Confronto:

´

^

´

' '

La corda ⇒

AB < arco AB < T T AB < AB < T T

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Teorema del confronto per i limiti finiti e infiniti Pag. 1
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Sintesi

In questo appunto di matematica si parla del teorema del confronto, sia per i limiti finiti sia per i limiti infiniti.

Verrà mostrata la definizione del teorema per entrambi i casi e verrà svolto un esempio intuitivo sull’applicazione di questo teorema.

Teorema del confronto

Il teorema del confronto, chiamato anche teorema dei carabinieri, è un teorema che ci aiuta a risolvere limiti finiti o infiniti mediante opportune ipotesi, minorazioni e maggiorazioni della funzione. In questo appunto verrà dimostrato il teorema sia per i limiti finiti sia per i limiti infiniti.

Teorema del confronto per i limiti finiti

Sia

[math]x_0[/math]
un punto di accumulazione per il dominio di tre funzioni
[math]f, g, h[/math]
.

Siano definite le tre funzioni in un intorno di

[math]x_0[/math]
che chiameremo per comodità
[math]I[/math]
.

Ipotizziamo che:

  • [math]f(x) \geq g(x) \geq h(x),\ \forall\ x\in I [/math]
  • [math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=l,\ \forall\ l\in \Re [/math]

Allora si avrà:

[math]lim_{x\to x_0} g(x)=l[/math]

Quindi il teorema dei carabinieri ci dice che: “Se

[math]g(x)[/math]
è compresa tra due funzioni di cui conosciamo il limite, allora anche il limite di
[math]g(x)[/math]
è uguale a quel limite.”

Dimostrazione:

Dalla seconda ipotesi si ha che i limiti delle funzioni esterne esistono e sono finiti.

Dalla definizione di limite si ha che:

[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l [/math]

Se:

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_1(\epsilon)>0\ :\ \forall\ x\in I e 0 <|x-x_0|<\delta_1(\epsilon) [/math]

Si ha che:

[math]l-\epsilon < f(x)< l+\epsilon[/math]

Inoltre, dalla definizione di limite si ha che:

[math]\lim_{x\to x_0}h(x)=l [/math]

Se:

[math] \\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_2(\epsilon)>0\ :\ \forall\ x\in I e 0< |x-x_0|<\delta_2(\epsilon)[/math]

Allora risulta che:

[math] l-\epsilon < g(x)< l+\epsilon[/math]

Scegliendo

[math]\delta(\epsilon)=\min\{\delta_1(\epsilon),\delta_2(\epsilon)\}[/math]
si ricava la seguente condizione considerando le relazioni sopra ottenute:

[math]l-\epsilon < f(x) \geq g(x) \geq h(x) < l+\epsilon[/math]

Da cui:

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta(\epsilon)>0\ :\ \forall\ x\in I e 0< |x-x_0|<\delta(\epsilon)[/math]

Varrà sicuramente:

[math]l-\epsilon < g(x)< l+\epsilon[/math]

Che, considerando la definizione di limite si ottiene:

[math] \lim_{x\to x_0}g(x)=l [/math]

Esempio sul teorema dei carabinieri per i limiti finiti

Facciamo un esempio pratico per capire al meglio la teoria del teorema del confronto appena spiegata:

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{0}{0}=F.I.[/math]

Applichiamo il teorema del Confronto: Consideriamo la circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Tracciamo, dal centro, un raggio che formi, con l'asse positivo delle ascisse, un angolo

[math]x>0[/math]
espresso in radianti. Indicati con
[math]A(1,0)[/math]
, con
[math]B[/math]
il punto di intersezione di tale raggio e la circonferenza e con
[math]B'[/math]
la proiezione del punto
[math]B[/math]
sull'asse delle ascisse, possiamo osservare che:

[math]\overline{BB'} < \stackrel{\frown}{AB} < \overline{AT}[/math]

Dove

[math]\overline{BB'}[/math]
è il segmento di estremi
[math]B, B'[/math]
,
[math]\stackrel{\frown}{AB}[/math]
è l'arco di estremi
[math]A, B[/math]
e
[math]\overline{AT}[/math]
il segmento di estremi
[math]A, T[/math]
, essendo
[math]T[/math]
l'intersezione tra il raggio considerato e la retta tangente alla circonferenza nel punto
[math]A[/math]
. In base alle definizioni note delle funzioni trigonometriche abbiamo:

[math]\sin x < x < \tan x[/math]

Considerando

[math]x\to 0^+[/math]
e dividendo per la funzione seno la disuguaglianza precedente (tale funzione risulta sempre positiva, in questo caso) otteniamo:

[math]1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\ \Rightarrow\ \cos x<\frac{\sin x}{x} < 1[/math]

Dal momento che:

[math]\lim_{x\to 0^+} 1=\lim_{x\to 0^+}\cos x=1[/math]

Possiamo concludere che:

[math]\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1[/math]

Analogamente si dimostra il caso per

[math]x\to 0^-[/math]
.

Quando e come si utilizza il teorema del confronto per i limiti finiti?

Il teorema dei carabinieri o del confronto risulta particolarmente utile nei limiti in cui compaiono la funzione seno e/o coseno.

Possono risultare utili le seguente relazioni notevoli:

  • [math] -1 \leq sin(x) \leq 1[/math]
  • [math] -1 \leq cos(x) \leq 1[/math]
  • [math]|sin(x)| \leq |x|[/math]

Teorema del confronto per i limiti infiniti

In questo caso possiamo distinguere due casi, a seconda se la

[math]x[/math]
tende ad un valore finito oppure ad un valore infinito.

Dimostrazione del teorema del confronto per i limiti infiniti quando la

[math]x[/math]
tende ad un valore finito:

Siano

[math]f, g [/math]
due funzioni definite in un intorno sinistro di un punto di accumulazione
[math]x_0[/math]
, che per comodità indichiamo con
[math]I_-[/math]
.

Assumiamo che per ogni

[math]x \in I_- [/math]
la funzione
[math]g(x) [/math]
assuma valori non inferiori a
[math] f(x)[/math]
, in formule:

[math] f(x) \geq g(x) \ \forall x \in I_- [/math]

Si ha che:

  • Se
    [math]\lim_{x\to x_0^-}f(x)=+ \infty[/math]
    allora risulta che:
    [math]\lim_{x\to x_o^-}g(x)=+ \infty[/math]
    ;
  • Se
    [math]\lim_{x\to x_0^-}g(x)=- \infty[/math]
    allora risulta che:
    [math]\lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty[/math]
    ;

Nel caso di un intorno destro

[math]I_+[/math]
vale l’analogo.

Dimostrazione del teorema del confronto per i limiti infiniti quando la

[math]x[/math]
tende ad un valore infinito:

Siano

[math]f, g [/math]
due funzioni definite in un intorno sinistro di un punto di accumulazione
[math]x_0[/math]
, che per comodità indichiamo con
[math]I_+\infty[/math]
.

Assumiamo che per ogni

[math]x \in I_{+\infty} [/math]
la funzione
[math]g(x) [/math]
assuma valori non inferiori a
[math] f(x)[/math]
, in formule:

[math] f(x) \geq g(x) \ \forall x \in I_{+\infty}[/math]

Si ha che:

  • Se
    [math]\lim_{x\to {+\infty}}f(x)=+ \infty[/math]
    allora risulta che:
    [math]\lim_{x\to {+\infty}}g(x)=+ \infty[/math]
    ;
  • Se
    [math]\lim_{x\to {+\infty}}g(x)=- \infty[/math]
    allora risulta che:
    [math]\lim_{x\to {+\infty}}g(x)=-\infty[/math]
    ;

Nel caso di un intorno

[math]I_{-\infty}[/math]
vale l’analogo.

Per ulteriori approfondimenti sul teorema del confronto vedi anche qua

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