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TEOREMA DEL CONFRONTO


Dati:
[math]f(x) < h(x) < g(x),\ \forall\ x\in[a,b] [/math]
e la condizione


[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=l[/math]


allora:

[math]lim_{x\to x_0} h(x)=l[/math]

Se

[math]h(x)[/math]
è compresa tra due funzioni di cui conosciamo il limite, allora anche il limite di
[math]h(x)[/math]
è uguale a quel limite.


Dimostrazione:
Dalla definizione di limite si ha

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_1(\epsilon)>0\ :\ \forall\ x\ |\ |x-x_0|<\delta_1(\epsilon)\ \Rightarrow\ l-\epsilon < f(x)< l+\epsilon\\
\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta_2(\epsilon)>0\ :\ \forall\ x\ |\ |x-x_0|<\delta_2(\epsilon)\ \Rightarrow\ l-\epsilon < g(x)< l+\epsilon[/math]


Scegliendo

[math]\delta(\epsilon)=\min\{\delta_1(\epsilon),\delta_2(\epsilon)\}[/math]
si ricava la condizione


[math]l-\epsilon < f(x) < h(x) < g(x) < l+\epsilon[/math]


da cui:

[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ \delta(\epsilon)>0\ :\ \forall\ x\ |\ |x-x_0|<\delta(\epsilon)\ \Rightarrow\ l-\epsilon < h(x)< l+\epsilon[/math]


Quindi

[math]h(x)[/math]
ha come limite
[math]l[/math]
.

Facciamo un esempio pratico:

[math]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0/0=F.I.[/math]


Applichiamo il Teorema del Confronto: Consideriamo la circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Tracciamo, dal centro, un raggio che formi, con l'asse positivo delle ascisse, un angolo

[math]x>0[/math]
espresso in radianti. Indicati con
[math]A(1,0)[/math]
, con
[math]B[/math]
il punto di intersezione di tale raggio e la circonferenza e con
[math]B'[/math]
la proiezione del punto
[math]B[/math]
sull'asse delle ascisse, possiamo osservare che


[math]\overline{BB'} < \stackrel{\frown}{AB} < \overline{AT}[/math]


dove

[math]\overline{BB'}[/math]
è il segmento di estremi
[math]B, B'[/math]
,
[math]\stackrel{\frown}{AB}[/math]
è l'arco di estremi
[math]A, B[/math]
e
[math]\overline{AT}[/math]
il segmento di estremi
[math]A, T[/math]
, essendo
[math]T[/math]
l'intersezione tra il raggio considerato e la retta tangente alla circonferenza nel punto
[math]A[/math]
. In base alle definizioni note delle funzioni trigonometriche abbiamo


[math]\sin x < x < \tan x[/math]


Considerando

[math]x\to 0^+[/math]
e dividendo per la funzione seno la disuguaglianza precedente (tale funzione risulta sempre positiva, in questo caso) otteniamo


[math]1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\ \Rightarrow\ \cos x<\frac{\sin x}{x} < 1[/math]


Dal momento che

[math]\lim_{x\to 0^+} 1=\lim_{x\to 0^+}\cos x=1[/math]


possiamo concludere che

[math]\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1[/math]


Analogamente si dimostra il caso per

[math]x\to 0^-[/math]

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