La serie di Taylor

(una applicazione del teorema di Lagrange)

Consideriamo la funzione y = f (x) continua nell'intervallo chiuso [a, b] e indefinitamente derivabile, con derivate limitate, nell'intervallo aperto (a, b). Se
allora possiamo assegnare ad f (x) una somma di infinite funzioni
elementari detta serie di Taylor del tipo

dove (n) è l'ordine di derivazione ed f ⁽⁰⁾(x₀) = f (x₀).

Supponiamo che il grafico della funzione si presenti come in figura
(le considerazioni che facciamo sarebbero simili in presenza di un
altro grafico)

Dal grafico si osserva che f (x) = AB +
BC + CD dove:

• AB = f (x₀)
• BC = (x – x₀) f '
  (x₀) che è il differenziale di f (x) relativo al punto
  x₀ e all'incremento (x - x₀)
• CD = R_n che è l'errore che commetto quando approssimo la curva con la tangente.

Le considerazioni che abbiamo fatto discendono dal teorema di Lagrange applicato all'intervallo [x₀, x] . Infatti

Ora essendo un numero il cui valore dipende dall'intervallo [x₀, x] posso
decidere di considerarlo come somma di f ' (x₀) (costante) e variabile, data la continuità di
f ' (x) , per cui la (2) diventa

Che tipo di funzione deve essere questo ?

Non può essere una costante poiché, essendo f (x) derivabile in x₀ derivando la (4) si ottiene

da cui segue che deve annullarsi per x = x₀ .

La funzione più semplice che soddisfa a questo requisito è con K costante. Perciò, sostituendo nella (4) si ottiene

(5)          f (x) = f (x₀) + (x – x₀) f ' (x₀)
+ (x – x₀)²K

Andiamo adesso alla ricerca di questo K. Derivando la (5), e riapplicando il teorema di Lagrange, si ottiene:

.

Sostituendo nella (5) si ottiene infine

dalla quale si ottiene che l'errore che commetto quando approssimo la curva con la tangente è

chiamato resto, che come si vede dipende dall'ampiezza dell' intervallo [x₀, x] e dalla derivata seconda (il pedice 2 di R corrisponde all'indice di derivazione).

Se adesso operiamo come nella (3), si ha

e derivando 2 volte la (8) si ottiene

ed infine la

Se ripetiamo la serie di passaggi un'altra volta otteniamo

e questo fa capire come evolverà lo sviluppo dei termini successivi e quindi la (1).

Dal punto di vista grafico si evidenziano molto bene queste considerazioni.
Consideriamo la funzione y = sin (x) e il suo corrispondente sviluppo in serie di Taylor

dove abbiamo posto x₀ = 0.

Come si può notare, se ci interessa un intervallo abbastanza limitato, per esempio, , anche lo sviluppo per n = 5 approssima molto bene la funzione.

Volendo calcolare

se si usa lo sviluppo per n = 5 si ha

per n = 10 si ha

Altri esempi notevoli

Se si considerano gli sviluppi in serie di e^x e cos (x) per x₀ = 0, si ha

Sostituendo nello sviluppo di e^x  ix al posto di x si ottiene

identità di somma importanza detta formula di Eulero e ci mostra che, nel campo completo dei numeri (cioè dei numeri complessi), cos (x) e sin (x) sono intimamente legati alla funzione esponenziale.

Considerazioni didattiche:

1. l'uso di una calcolatrice scientifica permette di avere i
   valori delle funzioni goniometriche, iperboliche, logaritmi, potenze di
   qualsiasi base e qualsiasi esponente e i valori che appaiono sul
   display rimangono un mistero per lo studente che ha un minimo di
   curiosità culturale. Lo sviluppo in serie permette di soddisfare questa
   curiosità.
2. l'esempio fatto non è casuale. Nel calcolo integrale nella gran
   parte dei casi non esiste la primitiva della funzione integranda e
   pertanto approssimare la funzione con il suo sviluppo in serie, offre,
   ove possibile, una stima dell' area che si sta cercando.