Luca Lussardi: appunti di Analisi I
Serie a termini di segno qualunque
Convergenza assoluta
Sia data una successione xn; si dice che la serie
∑n=0+∞ xn
converge assolutamente se converge la serie
∑n=0+∞ |xn|.
È facile controllare che la convergenza assoluta implica quella semplice; il viceversa non è invece vero, come uno dei prossimi esempi mostrerà.
Serie a termini di segno alterno
Per serie a termini di segno alterno si intende una serie del tipo
∑n=0+∞ (−1)nxn
dove xn ≥ 0 per ogni n naturale. Lo studio della convergenza di una serie a termini di segno alterno si avvale del seguente criterio ad hoc:
Sia data una serie a termini di segno alterno
Criterio di Leibniz: ∑n=0+∞ (−1)nxn;
se la successione xn decresce e tende a 0 allora la serie data converge.
Dimostrazione. Si ha
S2k+2 = S2k − x2k+1 + x2k+2
per cui la successione S2k decresce, dunque si ha
limk→+∞ S2k = S ∈ [−∞, +∞).
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