In questo appunto andremo ad approfondire le serie di Taylor, utili strumenti per approssimare funzioni arbitrariamente "complesse" tramite l'utilizzo di funzioni molto più semplici: i polinomi.
Definizione
Sia data una funzione[math] f [/math]
, derivabile abbastanza volte. Denotiamo inoltre con [math] f^{(k)} [/math]
la derivata [math] k- [/math]
esima della funzione [math] f [/math]
. Si dice polinomio di Taylor di ordine [math] k [/math]
relativo a [math] f [/math]
centrato nel punto [math] x_0 [/math]
il polinomio seguente:[math] \sum_{i=0}^{k} f^{(i)} (x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^i}{i!} [/math]
[math] x_0 = 0 [/math]
diremo che la formula di sopra è il polinomio di Mac-Laurin di ordine [math] k [/math]
della funzione [math] f [/math]
.
Tali sviluppi risultano particolarmente utili per approssimare localmente delle funzioni che, altrimenti sarebbero troppo complesse da calcolare/disegnare oppure che renderebbero troppo difficile lavorare con esse quando compaiono, per esempio, nel calcolo dei limiti.
In genere accade (con pochissime eccezioni) che più il grado
[math] k [/math]
è alto, più fedele è l'approssimazione della funzione [math] f [/math]
con il polinomio di Taylor. Maggiori dettagli si possono reperire nel PDF sottostante.Osservazione 1: Il polinomio di Taylor di ordine 1 della funzione
[math] f [/math]
centrato nel punto [math] x_0 [/math]
non è altro che la retta tangente al grafico di [math] f [/math]
nel punto [math] x_0 [/math]
. Si può dire che essa è la retta che, in un intorno di [math] x_0 [/math]
, approssima meglio la funzione [math] f [/math]
.Osservazione 2: Il polinomio di Taylor di grado
[math] k [/math]
associato ad una funzione polinomiale di grado [math] k [/math]
non è altro che il polinomio stesso, per qualsiasi valore di [math] x_0 [/math]
.
Esempi
Vediamo qualche esempio:Sia data la funzione
[math] f(x) = e^x [/math]
. Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 centrato nel punto [math] x_0 = 0[/math]
.Osserviamo che la funzione
[math] f(x) [/math]
è ben nota per essere derivabile infinite volte e le derivate di tale funzione coincidono sempre con la funzione stessa! Pertanto è necessario calcolare tali derivate, fino all'ordine 4, in [math] x=0 [/math]
. Ma a questo punto è chiaro che, essendo [math] e^0 = 1 [/math]
, si ha:[math] f^{(4)} (0) = f^{(3)} (0) = f^{(2)} (0) = f^{(1)} (0) = f(0) = e^0 = 1 [/math]
[math] f [/math]
centrato in [math] x=0 [/math]
e di ordine 4:[math] P_4(x) = 1+x+\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} [/math]
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