Quesito sulla funzione Zeta di Riemann

Partendo dalle sottostanti formule (A) e (B), dopo vari passaggi che sembrano del tutto

regolari, abbiamo ottenuto risultati completamente diversi, (formule (3) e (7)).

Abbiamo, però, riscontrato che partendo dalla formula (8) abbiamo ottenuto lo stesso

risultato di quello ottenuto partendo dalla formula (B).

Appare quindi chiaro che il risultato ottenuto partendo dalla formula (A), formula (3),

è quello non attendibile.

Poiché il procedimento seguito per ottenere la formula (3) sembra del tutto regolare,

chiediamo: dove è l’errore?

Le restanti parti rappresentano alcune considerazioni.

Consideriamo le relazioni +

m m 1

lim

(ln )

k (ln n )

∑ γ

− = , m∈N (A)

→ ∞ + m

k n m 1

≥1

k γ

∞ − k

( 1

)

1 ∑

ζ −

− k

k ( s 1

)

= (B)

( s ) − k !

s 1 = 0

k

γ

Le sono note come le costanti di Stieltjes

m

(vedasi [1], pag. 118; [2], pag. 12).

E’ noto inoltre che: m

lim (ln k )

∑

ζ ζ −

= m

( m ) ( m ) ( 1

)

= (1)

( s ) (

1

)

+

→ k

s 1 ≥

k 1

γ '

Nel prosieguo indichiamo con le costanti che figurano nella (A),

m

γ ' '

e con le costanti derivanti dalla (B).

m

1) La (A) viene ricavata considerando la relazione: +

m

m m m 1

lim (ln )

(ln ) (ln ) (ln )

k n

k x

∞

∑ ∑

∫ γ

− = −

dx '

= (A’)

→ ∞ + m

1

k x k n m

1

≥ ≥1

k 1 k

Per m = 0, dalla (A) ricaviamo la ben nota relazione:

lim n 1

∑ γ γ

− = = = 0,5772156649 (2)

[ ln n ]

→ ∞ 0

n k

=

k 1

γ

essendo nota come la costante di Eulero-Mascheroni.

Per m = 1, dalla (A’) otteniamo: lim

ln k 1

∑ γ

= + 2

' (ln n )

1 → ∞

k 2 n

≥

k 1

Utilizzando le formule (1), (A’) e (2), troviamo: γ ' 1

+

1

lim

lim

1 2

ln k

∑ γ +

− 2

2 (ln n )

n

' (ln )

ζ → ∞

1 → ∞ 1

' (

1

) n

n

2

k − = −

= = − =

≥

k 1 γ

ζ 2 1 lim 2

[ (

1

)] ∑ + 2

γ

2 + 2 ( 1

)

[ ] ( ln n ) lim

→ ∞

k n

≥

k 1 ln n

→ ∞

n

In generale, utilizzando la (A’) e la (2), ricaviamo:

1 +

m 1

m lim (ln n )

k

(ln )

∑ γ +

'

ζ m → ∞ +

( m ) (

1

) n m 1

k

= − − =

≥ m

m k 1

( 1

) = ( 1

)

+

ζ m 1 1 lim

[ (

1

)] ∑ + +

γ

m 1 + m 1

( ) ( ln n )

→ ∞

k n

≥

k 1

γ ' 1

+

m +

lim m 1

+

1

m

(ln n )

→ ∞ 1

n

− = −

m m

( 1

) ( 1

) (3)

= γ +

m 1

+

+ 1

m

( 1

)

lim ln n

→ ∞

n ζ

2) Utilizzando la (B), che è lo sviluppo in serie di Laurent di ,

(s )

nell’intorno di s = 1, otteniamo: lim ζ

− = (4)

[( s 1

) ( s )] 1

→

s 1

Derivando, m volte, rispetto a “s”, i due membri della (B), otteniamo:

γ

∞

− − Γ +

m k

( 1

) m

! ( 1

) ( k 1

)

∑ −

ζ −

− −

( )

m k m

k m

( s ) ( s 1

)

= = (k = h) =

+

− Γ + −

1

m

( s 1

) k ! ( k 1 m )

= 0

k

+ γ

∞ − h m

( 1

)

∑ −

+ h

h m ( s 1

)

= , (5)

h

!

= 0

h ∞

∫ −

Γ + = = k t

( k 1

) k ! t e dt

essendo 0 +

ζ m 1

Dividendo i membri della (5) per ( )

s , abbiamo:

+

ζ γ

∞ −

−

( m ) m h m

1 ( 1

)

( s ) ( 1

) m

! ∑ −

− + h

h m ( s 1

)

= (6)

ζ ζ ζ

+ + +

− 1

m 1 m 1 m

[ ( s )] h

!

[ ( s )] [( s 1

) ( s )] = 0

h

→

Passando al limite per s , il 2° membro della (6) si annulla, per cui:

1

ζ −

( m ) m

lim ( s ) ( 1

) m

!

− =

[ ] 0 ,

ζ ζ

+ +

→ −

m 1 m 1

s 1 [ ( s )] [( s 1

) ( s )]

da cui, tenendo presente la (4), ricaviamo: ζ ( m ) (

1

) = − m

( 1

) m

! (7)

ζ +

1

m

[ (

1

)]

I procedimenti per ricavare la (3) e la (7) sembrano del tutto regolari,

ma i risultati sono diversi, e ciò è assurdo.

Sorge naturale la domanda:

Quale delle due formule è ritenuta attendibile?

La (7) sembra la più attendibile, in quanto, per m = 1, e per m = 2,

troviamo un puntuale riscontro.

Infatti, sostituendo “1-s” ad “s” nella nota equazione funzionale

π

s

−

ζ π ζ

= Γ − −

s 1 ,

s s s

( ) 2 ( 2 ) sin (

1 ) (

1 )

2

otteniamo: π − s

(

1 )

−

ζ π ζ

− = Γ

s (8)

s s s

(

1 ) 2 ( 2 ) sin ( ) ( )

2

Prendendo il logaritmo naturale dei due membri della (8), e derivando,

2

rispetto ad “s”, troviamo: π −

(

1 s )

cos

π ζ

ζ − Γ

' (

1 s ) ' ( s ) ' ( s )

2

π

− = − − + +

ln( 2 ) (9)

π − ζ

ζ − Γ

(

1 s )

(

1 s ) 2 ( s ) ( s )

sin 2

ζ →

Dividendo ambo i membri della (9) per , e passando dopo al limite per s ,

s

( ) 1

troviamo: ζ ' (

1

) = − 1 ,

ζ 2

[ (

1

)]

lo stesso risultato che otteniamo ponendo, m=1, nella (7).

Ricordiamo che: π π

−

lim 1 1

s

( 1

) ζ ζ π

ζ = −

= −

= ; ; ln( 2 )

( 0 ) ' ( 0 )

s

[sin ( )]

→

s 1 2 2 2 2

Derivando ambo i membri della (9), rispetto ad “s”, dividendo dopo i due membri

ζ →

2

per [ ( s )] , e passando dopo al limite per s , troviamo:

1

ζ ' ' (

1

) = 2 ,

ζ 3

[ (

1

)]

lo stesso risultato che otteniamo ponendo, m = 2, nella (7).

Osserviamo che ponendo, nella (9), s = ½, ricaviamo:

ζ π π

' (

1 / 2

) 1 1 1 1 3 1

π ψ π γ

= + − + + +

ln( 2 ) ( ) = ;

ln 2

ln( )

ζ (

1 / 2

) 2 4 2 2 2 4 2 2

1

ψ γ

= − −

ricordiamo che: , (vedasi [3], pag. 945), e che:

( ) 2 ln 2

2

ζ ' (

1 / 2

) p

ln

∑

= −

ζ −

1 / 2

(

1 / 2

) p 1

=

p prime

Ponendo, nella (B), s = 0, ricaviamo: γ

∞

1 ∑

ζ γ

+ − + k

= = + , da cui:

( 0 ) 1 1 k

2 !

=1

k

γ

∞ 1

∑ γ

−

k =

k ! 2

=1

k

Ponendo, nella (B), s = 2, troviamo: γ

π ∞ −

2 k

( 1

)

∑

ζ γ

−

− k

= 1 = + , da cui:

( 2 ) 1 6 k !

=

k 1

γ π

∞ − k 2

( 1

)

∑ γ

−1 −

k = ;

6

k !

=

k 1

−

ponendo, nella (B), s = , abbiamo:

1 γ

∞ k

2

1 ∑

ζ γ

− − k

= + , da cui:

( 1

) − −

1 1 k !

=1

k

γ

∞ k

2 1

∑ ζ γ

− + −

k = ;

( 1

) 2

k !

=1

k 1

ζ − = −

ricordiamo che (vedasi [4], pag. 9).

( 1

) 12 3

→

Dalla (5), passando al limite per s , abbiamo:

0 γ

∞

∑

ζ − + − +

(m ) m h m

( 0

) = m

! ( 1

) h

!

=

h 0

E per m = 1, troviamo: γ

∞

1 ∑

π +

1

h

= 1+

ln( 2 ) h

2 !

= 0

h

Inoltre, dalla (B) otteniamo: γ

∞ − k

( 1

)

∑ +

ζ −

− − k 1

k ( s 1

)

= (10)

s s

( 1

) ( ) 1 k !

=

k 0

Derivando successivamente i membri della (10), m+1 volte, rispetto ad “s”, ricaviamo:

+

ζ ζ γ

− + + = − + + −

( m 1

) ( m ) m , (11)

( s 1

) ( s ) ( m 1

) ( s ) ( 1

) ( m 1

) ' ' f ( s 1

)

m

→

da cui, passando al limite per s , troviamo:

1

+

ζ

− −

( m 1

) m

lim ( s 1

) ( s )( 1

) ζ γ

+ − =

m ( m )

[ ( 1

) ( s )] ' ' ; (C)

→ + m

s 1 m 1

lim − =

f ( s 1

) 0

→

s 1 γ ' '

Essendo una costante, dalla (11) ricaviamo:

m +

ζ

− ( m 1

)

lim ( s 1

) ( s ) = − +

[ ] ( m 1

) ,

ζ

→ ( m )

s 1 ( s )

e per m=0, abbiamo: ζ

− '

lim ( s 1

) ( s ) = −

[ ] 1

ζ

→

s 1 ( s )

Osservando il 1° membro della (11), abbiamo:

+

 

+ m 1

m 1

∑ + −

ζ

  − =

( k ) ( m 1 k )

s s

( 1

) ( ) 0

 

k

 

=

k 2

3) Da quanto precede risulta che la (3) non è attendibile.

γ '

La (3) l’abbiamo ricavata ipotizzando che sia costante.

m

γ ' una costante, dov’è l’errore?

Essendo m γ '

Per valori molti grandi di n, varia notevolmente al variare di n,

m

(vedasi tabella sottostante).

Sottraendo la (C) dalla (A’), otteniamo:

+ +

ζ

−

m 1