Operazioni con le matrici

Definizioni delle operazioni tra matrici e proprietà elementari

Definizione 1: Somma di matrici. Date due matrici e entrambe di tipo , si chiama somma di e e si indica col simbolo quella matrice di tipo i cui elementi sono la somma degli elementi omologhi di e . \[ \begin{aligned} &\begin{array}{cc} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} & B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix} \end{array} \\ &\begin{array}{c} A + B = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix} \end{array} \end{aligned} \] Osservazione 1: La differenza di due matrici dello stesso tipo e si definisce, usando la definizione 1, come la somma di con , cioè con la matrice opposta di . Osservazione 2: La somma di una matrice e della sua opposta dà come risultato la matrice nulla, indipendentemente dal numero di righe e colonne degli addendi. Definizione 2: Prodotto di una matrice per uno scalare. Dati un numero reale e una matrice , si chiama prodotto di per lo scalare e si indica con quella matrice, dello stesso tipo di , i cui elementi sono i prodotti per degli elementi omologhi di . \[ rA = \begin{pmatrix} ra_{11} & ra_{12} & \cdots & ra_{1n} \\ ra_{21} & ra_{22} & \cdots & ra_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ra_{m1} & ra_{m2} & \cdots & ra_{mn} \end{pmatrix} \] Osservazione 3: Il prodotto di una qualsiasi matrice per dà come risultato , la matrice opposta di ; il prodotto di con dà la matrice nulla. Definizione 3: Prodotto scalare di un vettore riga per un vettore colonna. Dati un vettore riga ed un vettore colonna con lo stesso numero di elementi, si chiama prodotto scalare di per e si indica con il numero reale che si ottiene sommando gli prodotti i cui fattori sono gli elementi omologhi di e . \[ \begin{array}{cc} u = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1n} \end{pmatrix}, & v = \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{21} \\ \vdots \\ v_{n1} \end{pmatrix} \end{array} \] \[ u \cdot v = u_{11}v_{11} + u_{12}v_{21} + \cdots + u_{1n}v_{n1} \Leftrightarrow u \cdot v = \sum_{j=1}^{n} u_{1j} v_{j1} \] Osservazione 4: Dati due vettori e con lo stesso numero di elementi, si può comunque definire il loro prodotto scalare assumendo, come di solito si fa, che il primo sia scritto come vettore riga e il secondo come vettore colonna. Il risultato dell’operazione, , si legge pure “ scalato con ”. Definizione 4: Prodotto righe per colonne. Date una matrice di tipo e una matrice di tipo , si chiama prodotto righe per colonne di per o prodotto matriciale di per e si indica con quella matrice di tipo il cui elemento generico è il prodotto scalare dell’-esima riga di con la -esima colonna di . \[ \begin{aligned} &\begin{array}{cc} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1t} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2t} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mt} \end{pmatrix}, & B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{t1} & b_{t2} & \cdots & b_{tn} \end{pmatrix} \end{array} \\ &\begin{array}{cc} A \cdot B = R = \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1n} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{m1} & r_{m2} & \cdots & r_{mn} \end{pmatrix}, & \text{con} \; r_{ik} = \sum_{j=1}^{t} a_{ij} b_{jk} \end{array} \end{aligned} \] Osservazione 5: La definizione 4 è ben posta, perché infatti comunque si scelgano e , l’-esima riga di e la -esima colonna di sono vettori di lunghezza , e quindi si può effettuare il loro prodotto scalare secondo la definizione 3. Osservazione 6: Quando si effettua il prodotto scalare di e , gli elementi del vettore riga variano “orizzontalmente”, cioè con il secondo indice, mentre quelli del vettore colonna variano “verticalmente”, ovvero col primo indice. Ne risulta che nel calcolo di gli indici e , indicati in rosso, restano fissi, mentre l’indice , colorato in verde, varia tra e . Osservazione 7: La definizione 4 estende la definizione 3, nel senso che se le matrici e sono rispettivamente un vettore riga e un vettore colonna il loro prodotto scalare coincide con il loro prodotto righe per colonne. Quest’ultimo si può effettuare in quanto è del tipo e è del tipo ; il risultato è una matrice , cioè contenente un solo elemento, e in questo caso si assume che tali due oggetti, in principio diversi, coincidano.