Limiti Infiniti - Operazioni

Analisi

Appunto riepilogativo di Matematica sulle operazioni che coinvolgono i limiti infiniti, contiene le funzioni somma, prodotto e quoziente e le forme indeterminate.

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Sintesi

Limiti Infiniti, Operazioni

Consideriamo il caso della somma tra limiti, in particolare sappiamo che:

[math]\lim f(x)+\lim g(x)=\lim [f(x)+g(x)][/math]

Allora:

[math]1)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=M\not=\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=\pm\infty[/math]

[math]2)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=+\infty[/math]

[math]3)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=-\infty[/math]

[math]4)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=+\infty-\infty=F.I.[/math]

Analizziamo il caso del prodotto di un limite infinito per una costante. Se

[math]\lim_{x\to x_0} f(x)=l=\pm\infty[/math]

[math]k\in\mathbb{R},\ k\not=0[/math]

allora

[math]\lim_{x\to x_0} [k\cdot f(x)]=k\cdot\lim_{x\to x_0}f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
+\infty & & (l=+\infty,\ k>0)\ \vee\ (l=-\infty,\ k<0)\\ -\infty & & (l=+\infty,\ k<0)\ \vee\ (l=-\infty,\ k>0)
\end{array}\right.[/math]

Consideriamo il caso del prodotto tra limiti, in particolare sappiamo che:

[math]\lim f(x)\cdot \lim g(x)=\lim[f(x)\cdot g(x)][/math]

Allora:

[math]1)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=M>0,\ M\not=\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=\pm\infty[/math]

[math]2)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=M<0,\ M\not=\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=\mp\infty[/math]

[math]3)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=+\infty[/math]

[math]4)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=\mp\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=-\infty[/math]

[math]5)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=0\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=\pm\infty\cdot 0=F.I.[/math]

Consideriamo il caso del rapporto tra limiti:

[math]1)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=l\not=\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0[/math]

[math]2)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=0,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0[/math]

[math]3)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=l>0, l\not=\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\pm\infty[/math]

[math]3')\ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=l<0, l\not=\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\mp\infty[/math]

[math]4)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=\pm\infty\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\infty}{\infty}=F.I.[/math]

[math]5)\ \lim_{x\to x_0}f(x)=0,\quad\lim_{x\to x_0}g(x)=0\ \Rightarrow\ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0}=F.I.[/math]

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