Definizione di matrice e matrici particolari

Definizione di matrice

Definizione 1: Matrice rettangolare. Si considerino due numeri naturali e entrambi non nulli e numeri reali. Si chiama matrice rettangolare di tipo l’insieme dei numeri reali considerati, ordinati secondo righe e colonne, in una tabulazione come quella che segue: \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \] Ciascuno dei numeri , con gli indici e rispettivamente variabili tra 1 ed e tra 1 ed in tutte le combinazioni possibili, viene detto elemento della matrice. La matrice viene sinteticamente indicata con \[ A = [a_{kj}], \; k \in \{1, \ldots, m\}, \; j \in \{1, \ldots, n\} \] Esempio di matrice \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & \displaystyle \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -0.5 \\ 1 & -3 & 1 & \displaystyle \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] Definizione 2: Matrice (o vettore) riga. Si chiama matrice riga, o vettore riga, una matrice rettangolare di tipo , che sia cioè formata da una sola riga con elementi: \[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{pmatrix} \] Definizione 3: Matrice (o vettore) colonna. Si chiama matrice colonna, o vettore colonna, una matrice rettangolare di tipo , che sia cioè formata da una sola colonna con elementi: \[ \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} \] Osservazione 1: Si presti attenzione al fatto che mentre nei vettori riga l’indice che cambia è il secondo, cioè l’indice di colonna, nei vettori colonna cambia il primo indice, ovvero quello di riga. Osservazione 2: Una matrice con una sola riga e una sola colonna, cioè di tipo , è sia un vettore riga che un vettore colonna. Naturalmente essa contiene un unico elemento, , ma è fondamentalmente distinta da esso: vale cioè \([a_{11}] \neq a_{11}\). Questo è vero in quanto il primo oggetto scritto è una matrice, mentre il secondo è solo un numero reale. Definizione 4: Matrice zero. Una matrice i cui elementi siano tutti nulli, indipendentemente dai numeri ed , viene sempre chiamata matrice zero, o matrice nulla: \[ \text{Z} = [z_{kj}], \; z_{kj} = 0 \; \forall \; k \in \{1, \ldots, m\}, \; j \in \{1, \ldots, n\} \] Definizione 5: Matrice opposta. Data una matrice di tipo viene detta matrice opposta di e solitamente indicata con quell’unica matrice di tipo tale che ogni suo elemento sia l’opposto dell’omologo elemento di . In breve, deve valere la condizione \[ -A = [-a_{kj}] \] Osservazione 3: In virtù delle definizioni 4 e 5, la matrice opposta della matrice zero di tipo è ancora la stessa matrice zero di tipo . Questa eventualità non si verifica con alcuna altra matrice. Definizione 6: Matrice trasposta. Data una matrice di tipo viene detta matrice trasposta di e solitamente indicata con quell’unica matrice di tipo che si ottiene da scambiando righe e colonne: \[ \begin{array}{ccc} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} & \Rightarrow & A_{T} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \end{array} \] Osservazione 4: Per le definizioni 2, 3 e 6, le matrici trasposte di un vettore riga e di un vettore colonna sono rispettivamente un vettore colonna e un vettore riga. La matrice trasposta di una matrice nulla è ancora una matrice nulla, ma di tipo differente.

Matrici quadrate

Definizione 7: Matrice quadrata. Fissato un numero naturale non nullo una matrice di tipo è chiamata per ovvi motivi matrice quadrata; si dice che essa ha ordine . Definizione 8: Diagonali di una matrice quadrata. Data una matrice quadrata di ordine qualsiasi, è possibile trovare in essa elementi che giacciono su una delle diagonali del quadrato, ed che giacciono sull’altra diagonale. Uno dei due insiemi ha la caratteristica che ciascuno dei suoi elementi ha gli indici uguali: esso è detto diagonale principale; l’altro insieme forma la diagonale secondaria. \[ \begin{array}{cc} \begin{pmatrix} \color{red}a_{11} & a_{12} & \color{green}a_{13} \\ a_{21} & \color{red}a_{22} & a_{23} \\ \color{green}a_{31} & a_{32} & \color{red}a_{33} \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} \color{red}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \color{green}a_{14} \\ a_{21} & \color{red}a_{22} & \color{green}a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & \color{green}a_{32} & \color{red}a_{33} & a_{34} \\ \color{green}a_{41} & a_{42} & a_{43} & \color{red}a_{44} \end{pmatrix} \end{array} \] Osservazione 5: Nell’immagine che precede, vediamo due matrici quadrate di ordini 3 e 4. In entrambe, gli elementi segnati in rosso formano la diagonale principale e quelli segnati in verde formano la diagonale secondaria. Si noti che se è pari, come nella seconda matrice, allora le due diagonali non hanno elementi in comune; se invece è dispari, come accade nel primo esempio, esiste un elemento che appartiene a entrambe le diagonali. Definizione 9: Matrice triangolare. Una matrice quadrata di ordine qualsiasi è detta triangolare superiore se tutti gli elementi situati sotto la sua diagonale principale sono nulli; si dice invece triangolare inferiore una matrice quadrata di ordine qualsiasi tale da avere nulli tutti gli elementi situati al di sopra della sua diagonale principale. \[ \begin{array}{cc} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{pmatrix} & \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} \end{array} \] Definizione 10: Matrice diagonale. Si chiama matrice diagonale una matrice quadrata di ordine qualsiasi i cui elementi non appartenenti alla diagonale principale sono tutti nulli. \[ \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{44} \end{pmatrix} \] Definizione 11: Matrice identica. Si chiama matrice identica, o matrice unità, una matrice diagonale di ordine qualsiasi i cui elementi appartenenti alla diagonale principale sono tutti 1. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Osservazione 6: Nelle tre immagini precedenti sono rappresentate matrici di ordine 4 triangolari superiori, inferiori, diagonali e identiche. Si noti che nelle definizioni 9 e 10 si dice solo che alcuni degli elementi devono essere nulli, non che gli altri, di cui non si parla, non possono essere 0. In particolare, ad esempio, una matrice diagonale è sia una matrice inferiormente triangolare che superiormente triangolare. Osservazione 7: In virtù della definizione 6, la trasposta di una matrice inferiormente (superiormente) triangolare è una matrice superiormente (inferiormente) triangolare. La trasposta di una matrice diagonale è ancora la stessa matrice; questa eventualità si verifica per tutte e sole le matrici diagonali.