Funzioni di proporzionalità diretta e inversa

In questo appunto di matematica si tratta di proporzionalità diretta ed inversa e delle funzioni che definiscono questi due tipi di proporzionalità, con una introduzione alle proporzioni ed alle loro proprietà.

Proporzioni

Data una coppia ordinata di numeri (a, b) con

esiste sempre il quoziente a : b e prende il nome di rapporto di a a b, dove a è il primo termine (o antecedente) e b il secondo termine (o conseguente).
Scambiando l’antecedente con il conseguente si ottiene il rapporto inverso:
dato il rapporto a : b, il rapporto inverso è b : a.
Il rapporto può essere espresso tramite:

• una frazione;
• un numero decimale.

I termini della frazione sono i termini del rapporto e possono essere anche numeri irrazionali.

Il numero decimale che rappresenta il rapporto è quello che si ottiene dividendo il primo termine del rapporto per il secondo. Se tale numero non risulta essere un decimale finito, si considerano nella parte decimale, tutte le cifre richieste dall’approssimazione.
Si ha una proporzione quando, date due coppie di numeri, queste hanno lo stesso rapporto, ossia si ha uguaglianza dei rapporti.
Analogamente si può asserire che, dati quattro numeri a, b, c, d, in un certo ordine, essi formano una proporzione se il rapporto fra il primo ed il secondo è uguale al rapporto fra il terzo ed il quarto:
a : b = c : d

dove
a, b, c, d sono i termini della proporzione;
a e c si chiamano antecedenti;
b e d si chiamano conseguenti;
b e c si chiamano medi;
a e d si chiamano estremi.
Il quarto termine della proporzione si chiama anche quarto proporzionale dopo i primi tre termini.

Proprietà delle proporzioni

Le proporzioni godono di alcune proprietà:

• proprietà fondamentale;
• proprietà dell’invertire;
• proprietà del permutare;
• proprietà del comporre (o dello scomporre).

La proprietà fondamentale delle proporzioni afferma che: in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Ad esempio nella proporzione
15 : 3 = 60 : 12
si ha che

Diremo che una proporzione è continua se i medi sono tra loro uguali:
a : b = b : c
quindi

ed il numero b si chiama medio proporzionale tra a e c.
La proprietà dell’invertire afferma che: data una proporzione, scambiando ogni antecedente col proprio conseguente, si ottiene ancora una proporzione.
Infatti data
15 : 3 = 60 : 12
scambiando antecedente con conseguente si ottiene
3 : 15 = 12 : 60

La proprietà del permutare afferma che: data una proporzione si ottiene ancora una proporzione, scambiando fra loro i medi oppure gli estremi.
Infatti data
15 : 3 = 60 : 12
scambiando i medi si ottiene
15 : 60 = 3 : 12

Analogamente, scambiando gli estremi:
12 : 3 = 60 : 15

La proprietà del comporre afferma che: data una proporzione si ottiene ancora una proporzione sostituendo ad ogni antecedente la somma (o la differenza quando possibile) di esso con il proprio conseguente.
Infatti data
15 : 3 = 60 : 12
sommando antecedente e conseguente si ottiene
(15 + 3) : 3 = (60 + 12) : 12
18 : 3 = 72 : 12

Proporzionalità diretta

Siano dati due insiemi numerici M ed N. Diremo che una corrispondenza biiettiva tra questi due insiemi, tale che il rapporto tra un elemento qualsiasi di N e l’elemento di M di cui è il corrispondente sia costante, si chiama proporzionalità diretta da M ad N.
Indicando con k la costante, scriveremo che la funzione

si scriverà come

oppure

La costante k si chiama coefficiente di proporzionalità diretta da M ad N e tale relazione significa che ogni elemento y del secondo insieme si può ottenere moltiplicando l’elemento x del primo insieme di cui esso è il corrispondente per il coefficiente di proporzionalità.
Analizziamo il seguente esempio numerico.
Siano dati i due insiemi
M = {10, 15, 20, 25, 30}
N = {2, 3, 4, 5, 6}
Cosa si può notare fra le coppie ordinate di elementi di questi due insiemi?
Si nota che il rapporto tra le coppie ordinate (y, x), con

ed

è sempre costante, ossia il rapporto è sempre 5.
Verifichiamo:
date le coppi ordinate (x, y)
(10, 2), (15, 3), (20, 4), (25, 5), (30, 6)
si ah che

L’espressione della y in funzione della x, nel caso in esame è:

dove 5 è la costante di proporzionalità.
In generale possiamo asserire che: date due variabili (o due grandezze) x e y tali che il rapporto tra loro sia costante, tali variabili di dicono direttamente proporzionali.
La proporzionalità diretta fra due grandezze implica che quando una grandezza cresce, cresce anche l’altra (e viceversa): se aumenta la x, aumenta anche la y; se diminuisce la x diminuisce anche la y. Infatti due grandezze sono direttamente proporzionali se, variando l’una, varia anche l’altra nello stesso rapporto e cioè, diventando una doppia, tripla, quadrupla, ecc., anche il corrispondente valore della seconda grandezza, diventa doppio, triplo, quadruplo, ecc.
Il grafico che rappresenta una funzione di proporzionalità diretta è una semiretta uscente dall’origine degli assi, dove il coefficiente di proporzionalità rappresenta il coefficiente angolare.

Proporzionalità inversa

Siano dati due insiemi numerici M ed N. Una corrispondenza biiettiva fra gli insiemi M ed N, tale che il prodotto tra un elemento qualsiasi di M ed il corrispondente elemento di N sia costante, si chiama proporzionalità inversa da M ad N.
Indicata con h la costante, la funzione:

si può scrivere come

oppure

dove la costante h è il coefficiente di proporzionalità inversa da M ad N.
La precedente relazione esprime che ogni elemento y del secondo insieme si può ottenere dividendo il coefficiente di proporzionalità per l’elemento x del primo insieme di cui esso è il corrispondente, oppure moltiplicando il coefficiente di proporzionalità per l’inverso dell’elemento x del primo insieme di cui esso è il corrispondente.
In generale diremo che due grandezze si dicono inversamente proporzionali se il prodotto tra la misura di una qualunque di esse con la corrispondente misura dell’altra è costante.
Analogamente possiamo asserire che due grandezze sono inversamente proporzionali se, variando l’una, l’altra varia secondo il rapporto inverso e cioè diventando l’una doppia, tripla, quadrupla, ecc., il corrispondente valore della seconda grandezza diventa la metà, un terzo, un quarto, ecc.
In altre termini, quando la x aumenta, la y diminuisce ed analogamente quando la x diminuisce la y aumenta.
Il grafico della funzione che rappresenta la relazione di proporzionalità inversa è un ramo di iperbole equilatera.
Analizziamo il seguente esempio numerico.
Siano dati i due insiemi
M = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
N = {18, 9, 6, 3, 2, 1}
e si considerino le coppie
(1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1).
Si può osserva che il prodotto fra le coppie di numeri x ed y è costante ed è uguale a 18:

Per cui si ha che la relazione fra gli elementi dell’insieme M e quelli dell’insieme N è di proporzionalità inversa, la cui espressione è data da:

Il grafico, come già detto, è una iperbole equilatera con h = 18.

per ulteriori approfondimenti sulla proporzionalità diretta ed inversa vedi anche qua