di INTEGRAZIONE PER PARTI
Oggi parleremo della formula delle integrazioni per parti, che ci consente di integrare agevolmente tutte quelle funzioni che si presentano nella forma di prodotto di una prima funzione
[math]f[/math]
per la derivata di una seconda funzione che possiamo chiamare [math]g'[/math]
. Che cosa ci dice la formula? Ci dice che:[math]\int f(x) g'(x) dx= f(x) g(x)- \int f'(x) g(x) dx[/math]
E' chiaro che questa formula di per se, non può risolvere completamente un esercizio, nel senso che sposta il problema dal calcolo di un primo integrale al calcolo di un secondo integrale. La cosa chiaramente ci aiuta, ed è essenziale farla, solo nel caso in cui il primo integrale risulta complicato ed il secondo integrale risulti più semplice. Vediamo subito alcuni esempi per capire di cosa si tratta:
Proviamo a calcolare ad esempio il seguente integrale:
[math]\int x\ \cos x\ dx[/math]
La prima cosa che dobbiamo fare è decidere quale delle due funzioni sarà la nostra
[math]f[/math]
e quale delle nostre due funzioni sarà [math]g'[/math]
. L'idea qui è che ci conviene prendere come funzione [math]f \to x[/math]
e come [math]g' \to \cos x[/math]
, e il motivo per cui conviene fare questo perché così nel secondo integrale il monomio scompare e ci ritroveremo soltanto la funzione goniometrica.Facciamoci una tabellina da una parte per capire meglio:
Applichiamo la formula: dobbiamo fare
[math]f*g[/math]
meno [math]\int f'*g[/math]
Quindi avremo:
[math]\int x\ \cos x\ dx=\ x\ \sin x-\int \sin x\ dx\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x\ \sin x+\cos x+c[/math]
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = x\ \sin x+\cos x+c[/math]
E l'esercizio è risolto!
