Con l‘ausilio delle derivate si possono risolvere una molteplicità di problemi. Quelli che affronteremo in questa sede sono i problemi di massimo e di minimo. Per impostarli , occorre stabilire qual è la grandezza che si vuole debba essere
massima o minima e indicarla con la variabile dipendente y. La x dovrà
rappresentare una opportuna grandezza variabile del problema da scegliere di
volta in volta.
Per chiarire quanto affermato consideriamo due esempi entrambi riguardanti
problemi di geometria piana.
1) Fra i rettangoli di perimetro 2p, qual è quello di area massima?
In questo caso con y, per quanto detto precedentemente, indichiamo l’area del
rettangolo che è la grandezza da “massimizzare”, con x possiamo indicare una
delle due dimensioni del rettangolo. 
L’altra dimensione sarà uguale a
Se si tiene conto che l’area del rettangolo è uguale al prodotto delle due
dimensioni, possiamo scrivere:
la poniamo uguale a zero e determiniamo il segno della derivata seconda nel punto trovato.
Considerato che la derivata seconda, nel punto in cui si annulla la derivata prima, è minore di zero, possiamo affermare che la funzione ha un massimo per
massima quando è un quadrato (particolare rettangolo) di lato un quarto il perimetro.
2) Fra i triangoli rettangoli aventi area uguale a S^2, qual è quello con l’ipotenusa minore?
Indichiamo con y l’ipotenusa e con x uno dei due cateti. L’altro cateto misurerà
allora
Applicando il teorema di Pitagora possiamo scrivere:
poniamo la derivata prima maggiore o uguale a zero,
Scomponendo otteniamo:
Dato che il secondo fattore, somma di due quadrati, è sempre positivo, la disequazione si
riduce a:
e ha come soluzioni
Per questi valori la funzione è monotona crescente,
di conseguenza ha un minimo per
L’altro cateto allora misurerà
In conclusione possiamo affermare che
un triangolo rettangolo di area
Fonte: http://sefed.altervista.org/
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