Calcolare
[math]\lim_{n \to +\infty}n( n^{-1/n}-1)[/math]
Grazie alla nota identit
[math]x=e^{\\log x}[/math]
(per [math]x>0[/math]
) si ha
[math]n^{-1/n}=e^{\\log (n^{-1/n})}=e^{(-\\log n)/n}[/math]
. Sapendo che
[math](\\log n)/n \to 0[/math]
se [math]n \to +\infty[/math]
(1) riscrivo il termine generale come
[math]n( n^{-1/n}-1)=n(e^{(-\\log n)/n}-1)/{(-\\log n)/n}(-\\log n)/n=-\\log n (e^{(-\\log n)/n}-1)/{(-\\log n)/n}[/math]
Ricordando illimite notevole
[math]\lim_{x \to 0}(e^x-1)/x=1[/math]
trovo, grazie a (1)
[math]\lim_{n \to +\infty}(e^{(-\\log n)/n}-1)/{(-\\log n)/n}=1[/math]
da cui
[math]\lim_{n \to +\infty}n( n^{-1/n}-1)=\lim_{n \to +\infty}(-\\log n (e^{(-\\log n)/n}-1)/{(-\\log n)/n})=-\infty[/math]
. FINE
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