Determinare
[math]intint_S ydS[/math]
dove [math]S[/math]
è quella parte di superficie [math]z=x^2[/math]
che si trova nel primo ottante dello spazio tridimensionale e dentro il paraboloide [math]z=1-3x^2-y^2[/math]
L'intersezione delle due superfici e' l'ellisse di equazioni :
[math]\begin{cases} z=x^2 \\ 4x^2+y^2=1 \ \end{cases}[/math]
che si proietta sul piano xy (z=0) nell'ellisse [math]\begin{cases} z=0 \\ 4x^2+y^2=1 \ \end{cases}[/math]
da cui ,tenuto conto che si opera nel primo ottante, scaturiscono le limitazioni : [math]0>=x>=1/2,0>=y>=\sqrt{1-4x^2}[/math]
Ora le equazioni parametriche della superficie data sono: [math]\begin{cases} x=u \\ y=v \\ z=u^2 \ \end{cases}[/math]
Pertanto ,facendo uso delle notazioni classiche (non vettoriali), si ha: [math]dsigma =\sqrt{1+z_u^2+z_v^2}dudv=\sqrt(1+4u^2)dudv[/math]
con [math](u,v)[/math]
variabile nell'insieme B definito da [math]0>=u>=1/2,0>=v>=\sqrt{1-4x^2}[/math]
Ne segue che l'integrale T richiesto e' : [math]T=intint_Bvdsigma =int_0^{1/2}\sqrt{1+4u^2}duint_0^{\sqrt(1-4u^2)}vdv[/math]
Ovvero: [math]T=1/2int_0^{1/2}(1-4u^2)\sqrt{1+4u^2}du[/math]
Conviene porre [math]u=1/2\\sinht[/math]
in modo che,ricordando varie proprieta' delle funzioni iperboliche, T si trasforma in: [math]T=1/4int_0^{ln(\sqrt2+1)}{\\cosh^2t-\\sinh^2t\\cosh^2t}dt[/math]
Oppure: [math]T=1/8int_0^{ln(\sqrt2+1)}[1+\\cosh{2t}]dt-1/(32)int_0^{ln(\sqrt2+1)}[\\cosh(4t)-1]dt[/math]
Ed integrando: [math]T=1/8|t+1/2\\sinh(2t)|_0^{ln(\sqrt2+1)}-1/{32}|1/4\\sinh(4t)-t|_0^{ln(\sqrt2+1)}[/math]
Effettuando tutti i calcoli si trova il risultato finale: [math]T=[\sqrt2+5ln{\sqrt2+1}]/(32)[/math]
FINE
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