Integrali Generalizzati

Integrali Generalizzati

Funzioni limitate su domini limitati

Sia a ∈ R. Sia una funzione f :[a,+∞[ -> R (insieme dei numeri reali) continua. In particolare per ogni r >=a, f risulta integrabile su [a,r], dunque ha senso considerare il seguente limite.
lim di r-> +∞ (intgr (da a a r) di f(x)dx).
Distinguiamo allora i seguenti 3 casi:
1. Esiste il lim di r-> +∞ (intgr (da a a r) di f(x)dx)= I ∈ R. Diremo allora che f è integrabile in senso generalizzato su [a,+∞[ e scriveremo intg (da a a +∞) di f(x)dx = I. Diremo inoltre che l'integrale dato è convergente.
2. Esiste il lim di r-> +∞ (intgr (da a a r) di f(x)dx)= +-∞. In tal caso diremo che l'integrale non è integrabile in senso generalizzato su [a,+∞[, e scriveremo allora intg (da a a +∞) di f(x)dx =+-∞. Ovvero diremo che l'integrale dato è divergente. (con a = +-∞)
3. Non esiste il lim di r-> +∞ (intgr (da a a r) di f(x)dx). Diremo allora che f non è integrabile in senso generalizzato su [a,+∞[ e scriveremo che Non esiste il lim di r-> +∞ (intgr (da a a r) di f(x)dx). Ovvero diremo che l'integrale dato è indeterminato.
Osserviamo che l'ultimo caso (caso indeterminato) non può sussistere se f>=0 su [a,+∞[. Infatti posto F(r)=(intgr (da a a r) di f(x)dx), F risulta crescente, oppure si può notare dal fatto che F'(x)=f(x)=>0
Pertanto esiste il limite di r ->+∞ di F(r)= sup F(r).