Intermezzo astratto

Oggi analizzeremo lo scenario dall'alto, in modo da analizzare la situazione nella sua interezza e attribuirle un significato. Adottando semplicemente una terminologia diversa, e passando da uno scenario puramente descrittivo ad un piano più astratto, ci alzeremo di livello per osservare lo scenario dall'alto, in modo da analizzare la situazione nella sua interezza e attribuirle un significato. È quanto in genere si fa in termini scientifici quando i dati si rivelano poco trattabili e gli alberi non permettono di vedere il bosco.

Anche se occorre tempo per riconsiderare la scena da un punto di vista diverso, quello si guadagna anche in comprensione, e alla fine lo sforzo è ricompensato.

Procediamo allora con l'astrazione. Che cosa deducono i Matematici dalle considerazioni precedenti? Esiste un linguaggio unificante che permetta di integrare tutto quanto detto in un unico discorso, più schematico?

Vediamo di capire meglio cosa sia un gruppo.
Dato un insieme

di numeri (naturali, razionali...), si dice che "•" è un'operazione di quando due elementi qualunque di , e , ne determinano sempre un terzo, , a sua volta appartenente all'insieme . Il tutto si indica nella maniera seguente:

Si scrive cioè

. L'operazione "•" è dunque un'operazione "interna" (o chiusa): è un'operazione di .

Si dice poi che

è un gruppo quando l'operazione "•" e soddisfa tre condizioni:

1. Esiste un elemento

di ( è detto elemento neutro di ) che verifica, per ogni elemento appartenente a

.

2. Per ogni

esiste un altro elemento, che chiameremo inverso di e indicheremo con , tale che:

.

3. Tutti gli elementi di

, per esempio , soddisfano la proprietà associativa

.

Il numero di elementi di un gruppo

, che in genere si indica , si dice "ordine di ".

I gruppi con un limite finito di elementi sono detti gruppi finiti, mentre quelli che hanno infiniti elementi sono detti gruppi infiniti. L'insieme delle traslazioni di una retta

è ad esempio un gruppo infinito. L'insieme dei numeri interi...

...è anch'esso un gruppo infinito, con l'operazione "

". L'elemento neutro è lo mentre l'elemento inverso di un intero qualunque è l'intero .
Quando l'operazione è l'addizione, l'elemento inverso è in genere chiamato opposto.

...anche se per brevità si scrive in genere solitamente:

.

Anche l'insieme

dei numeri reali non nulli (cioè senza lo zero) è un gruppo rispetto all'operazione "•" (moltiplicazione). L'inverso di qualunque numero è mentre l'elemento neutro della moltiplicazione "•" è

.

Un sottoinsieme o parte

di , , che è anch'esso un gruppo con l'operazione "•" (anche se di ordine minore), e prende il nome di sottogruppo.