Calcolare
[math]\int \int_{T} e^{(y - 2)^2}dxdy[/math]
dove
[math]T[/math]
è il triangolo delimitato in [math]\mathbb{R}^2[/math]
dalle rette [math]x=0[/math]
, [math]y=0[/math]
, [math]y - x = 2[/math]
.
Il dominio di integrazione può essere scritto in questi due modi:
[math]T = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : -2 \le x \le 0, 0 \le y \le x + 2}[/math]
(1)
[math]T = {(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le y \le 2, y - 2 \le x \le 0}[/math]
(2)
Se viene adottata la rappresentazione (1) l'integrale doppio non può essere risolto in forma chiusa, dato che la funzione
[math]e^{(y - 2)^2}[/math]
non ammette primitive esprimibili in forma elementare; se invece viene usata la rappresentazione (2) si ottiene
[math]\int \int_{T} e^{(y - 2)^2}dxdy = \int_{0}^{2} \int_{y - 2}^{0} e^{(y - 2)^2}dxdy = - \int_{0}^{2} (y - 2) e^{(y - 2)^2} dy =[/math]
[math]= - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} 2(y - 2) e^{(y - 2)^2}dy = - \frac{1}{2} [e^{(y - 2)^2}]_{0}^{2} = - \frac{1}{2} (1 - e^4) = \frac{1}{2} (e^4 - 1)[/math]
FINE
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