Calcolare
[math]\int \int \int_{A} 2z dxdydz[/math]
con
[math]A = {(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 \le 4, -\sqrt{1 + x^2 + y^2} \le z \le \sqrt{x^2 + y^2}}[/math]
Dato che
[math]\sqrt{x^2 + y^2} \ge -\sqrt{1 + x^2 + y^2}[/math]
[math]\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2[/math]
, allora l'integrale proposto equivale a
[math]\int \int_{B} (\int_{-\sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{\sqrt{x^2 + y^2}} 2z dz)dxdy[/math]
(1)
con
[math]B = {(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 4}[/math]
.
[math]\int_{-\sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{\sqrt{x^2 + y^2}} 2z dz = [z^2]_{-\sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{\sqrt{x^2 + y^2}} = x^2 + y^2 - {1 + x^2 + y^2} = -1[/math]
Pertanto (1) equivale a
[math]\int \int_{B} (-1) dxdy = - \int \int_{B} dxdy = - 4 \\pi[/math]
considerando che
[math]B[/math]
è un cerchio di raggio [math]2[/math]
e che [math]\int \int_{B} dxdy[/math]
rappresenta l'area di [math]B[/math]
.
FINE
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