Si calcoli
[math]int 1/(x^2 -x +1)^2 dx[/math]
Partiamo dalla seguente identità , ricavabile con qualche accorgimento algebrico.
[math](x^2-x+1)=(x-1/2)^2+3/4=3/4 \cdot (4/3(x-1/2)^2+1)=3/4 \cdot (((2x-1)/(\sqrt3))^2+1)[/math]
per cui
[math](x^2-x+1)^2=9/16 \cdot (((2x-1)/(\sqrt3))^2+1)^2[/math]
Ora eseguiamo la sostituzione [math] (2x-1)/(\sqrt3)=\\tant->dx=\sqrt3/2 \cdot 1/{\\cos^2t}dt[/math]
per cui
[math]int 1/(x^2 -x +1)^2 dx=(8\sqrt3)/9 \cdot int\\cos^2tdt={8\sqrt3}/9 \cdot (t/2+(\\sin2t)/4)=(4\sqrt3)/9 \cdot t+(2\sqrt3)/9 \cdot \\sin2t+K,t=arctgan((2x-1)/(\sqrt3))[/math]
Ora
[math](2\sqrt3)/9\\sin2t={2\sqrt3}/9 \cdot 2sint\\cost=(4\sqrt3)/9(\\tant)/(1+\\tan^2t)=(4\sqrt3)/9 \cdot ((2x-1)/(\sqrt3))/(1+((2x-1)/(\sqrt3))^2)=(2x-1)/(3(x^2-x+1))[/math]
da cui giungiamo a
[math]int 1/(x^2 -x +1)^2dx=(4\sqrt3)/9 \cdot arc\\tan{(2x-1)/(\sqrt3)}+(2x-1)/(3(x^2-x+1))+K[/math]
FINE
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