Differenziale

Differenziale

Prendiamo una ipotetica funzione y= f(x).
Attribuito un qualsiasi valore alla variabile x, la legge espressa dalla funzione permette di calcolare il corrispettivo valore della variabile y. Si dice dunque che "x" è la variabile indipendente, mentre "y" è la variabile dipendente,

In una funzione matematica, le rette verticali (cioè parallele all'asse delle ordinate, di generica equazione x = k) possono incontrare la funzione una sola volta. In caso contrario saremmo in presenza di una relazione e non di una funzione. Infatti nella funzione ad ogni valore della variabile x corrisponde un unico valore della variabile y, mentre nella relazione ad ogni valore della variabile x possono corrispondere più valori della variabile y.

Ebbene, il generico punto P intersezione tra la retta verticale passante per l'ascissa xo incontrerà il grafico della nostra funzione una sola volta, in P appunto, il quale quindi avrà come coordinate (xo ; f(xo)).

Un altro punto Q del grafico, trovato in corrispondenza della intersezione della retta verticale passante per l'ascissa (xo+h) con la funzione f(x), avrà ordinata f(xo+h), ove h è un qualsiasi valore diverso da zero.

I punti P e Q avranno dunque coordinate rispettivamente:
P (xo ; f(xo))
Q (xo+h ; f(xo+h))

Se chiamiamo ∆y la distanza tra le ordinate di Q e P, e ∆x la distanza tra le ascisse di Q e P, potremo dire che il rapporto:

...rappresenta la pendenza del tratto di funzione compreso tra P e Q.

Sostituendo in questo rapporto a ∆y le ordinate di Q e P, e a ∆x le ascisse di Q e P, potremo scrivere:

Questa espressione è detta quoziente di Newton.

Se il quoziente di Newton viene calcolato al "limite" per h che tende a 0, cioè:

Possiamo scrivere:

...ove “m” rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della nostra funzione nel punto P.

Il limite appena calcolato (che, ricordiamo, è riferito ad un intervallo generico della nostra funzione) si indica anche con la notazione:

...cioè:

...e rappresenta la derivata della funzione y= f(x) rispetto ad x.

Dx diventa dunque una nuova variabile indipendente, chiamata "differenziale di x". Dy diventa a sua volta un’altra variabile dipendente, detta "differenziale di y".

Da queste definizioni possiamo concludere che i differenziali di una funzione sono semplicemente delle variabili molto, molto “piccole” in valore assoluto.

Leibniz, matematico e scienziato a cui si deve l'introduzione del calcolo differenziale, li definì inizialmente come “infinitesimi”, cioè come quantità infinitamente piccole, ma non nulle, il cui rapporto (dx/dy) rappresentava la pendenza della retta tangente al grafico di una funzione.

Se dunque finora la retta tangente al grafico di una funzione poteva essere definita come quella retta che "tocca" il grafico di una funzione in un punto, adesso possiamo definirla come quella retta che "taglia" (retta secante) il grafico di f(x) in due punti infinitamente vicini.

Queste quantità “infinitesime” non sono in realtà numeri reali, cioè non esistono. Tuttavia è possibile utilizzarli per sviluppare il calcolo differenziale, ma tale procedimento non sarà in questo appunto considerato.