[math] f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} [/math]
così definita:
[math] f(x; y) = \begin{cases} \frac{x}{\sqrt{|x^2-y|}}, & y \ne x^2 \\ 0, & y = x^2 \end{cases}[/math]
La funzione
[math] f [/math]
è sicuramente continua nei punti del piano che non appartengono alla parabola di equazione [math] y=x^2 [/math]
(poiché in tali punti è quoziente di due funzioni continue ed il denominatore non si annulla); resta da studiare la continuità di f nei punti del tipo [math] (a; a^2) [/math]
con [math] a \in \mathbb{R} [/math]
. Il limite di [math] f [/math]
, per [math] (x; y)[/math]
tendente ad [math] (a; a^2) [/math]
è [math] \infty [/math]
se [math] a \ne 0 [/math]
, mentre presenta la forma d’indecisione [math] \frac{0}{0} [/math]
se [math] a=0[/math]
. Quest’ultimo limite non esiste, perché già non esiste se lo calcoliamo restringendo [math] f [/math]
alla retta [math] y=0 [/math]
; infatti, con tale restrizione, si ha:
[math]\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{|x^2|}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1, & \text{ se } x \rightarrow 0^{+} \\ -1, & \text{ se } x \rightarrow 0^{-} \end{cases} [/math]
Pertanto la funzione
[math] f [/math]
non è continua in alcun punto della parabola [math] y = x^2 [/math]
.
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