Equazione di Eulero
L'equazione di Eulero è un'equazione differenziale della forma
[math]x^2 \cdot y'' + a x \cdot y' + b y = 0[/math]
Con la sostituzione
[math]y(x) = x^r[/math]
si arriva alla seguente equazione in
[math]r[/math]
[math]r^2 + (a-1)r + b = 0[/math]
Risolta questa equazione, si hanno due possibilità :
- se
[math]r_1 \ne r_2[/math]
l'integrale generale è
[math]y(x) = c_1 x^{r_1} + c_2 x^{r_2}[/math]
- se
[math]r_1 = r_2 = r[/math]
l'integrale generale è
[math]y(x) = (c_1 ln(x) + c_2) x^r[/math]
Equazione di Legendre
L'equazione di Legendre è un'equazione differenziale della forma
[math][(1 - x^2) y']^' - 2 x y' + n (n+1) y = 0[/math]
Le soluzioni sono della forma
[math]y(x) = P_n(x)[/math]
, dove i
[math]P_n[/math]
sono i
polinomi di Legendre, definiti da
[math]P_n(x) = \frac{1}{2^n \cdot n!} \frac{d^n}{d x^n} ((x^2 - 1)^n)[/math]
Equazione di Laguerre
L'equazione di Laguerre è un'equazione differenziale del tipo
[math]x y'' + (1-x) y' + n y = 0[/math]
Soluzioni di questa equazione sono le funzioni
[math]y(x) = L_n(x)[/math]
, dove
[math]L_n[/math]
sono i polinomi di Laguerre, definiti da
[math]L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{d x^n} (x^n e^{-x})[/math]
Equazione di Laguerre associata
Le equazioni di Laguerre associate sono equazioni del tipo
[math]y'' + (\frac{m+1}{x} - 1) y' + (\frac{n + \frac{1}{2} (m+1)}{x}) y = 0[/math]
Soluzioni di questa equazione sono i polinomi associati di Laguerre
[math]L_n^m(x)[/math]
, definiti da
[math]L_n^m(x) = \frac{(-1)^m \cdot n!}{(n-m)!} e^{-x} x^{-m} \frac{d^{n-m}}{d x^{n-m}} (e^{-x} x^n)[/math]
Equazione di Bessel
L'equazione di Bessel è un'equazione differenziale della forma
[math]x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0[/math]
Si chiamano funzioni di Bessel del primo tipo le funzioni definite da
[math]J_{\nu}(x) = x^{\nu} \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m + \nu} \cdot m! \cdot \Gamma(\nu + m + 1)}[/math]
dove
[math]\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt[/math]
è la Gamma di Eulero, e vale
[math]\Gamma(n + 1) = n![/math]
per ogni
[math]n \in \mathbb{N}[/math]
.
Quindi per
[math]\nu = n \in \mathbb{N}[/math]
le funzioni di Bessel del primo tipo diventano
[math]J_{n}(x) = x^{n} \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m + n} \cdot m! \cdot (n + m)}[/math]
e vale
[math]J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)[/math]
, per ogni
[math]n \in \mathbb{N}[/math]
.
Si chiamano funzioni di Bessel del secondo tipo le funzioni definite da
[math]Y_{\nu}(x) = \frac{J_{\nu}(x) \\cos(\nu \\pi) - J_{-\nu}(x)}{\\sin(\nu \\pi)}[/math]
e vale
[math]Y_n(x) = \lim_{\nu \to n} Y_{\nu}(x)[/math]
.
- Se
[math]\nu \in \mathbb{Z}[/math]
la soluzione dell'equazione di Bessel è data da
[math]y(x) = a J_{\nu}(x) + b J_{\nu}(x)[/math]
.
- La soluzione generale dell'equazione di Bessel è data da
[math]y(x) = a J_{\nu}(x) + b Y_{\nu}(x)[/math]
Equazione di Bessel modificata
L'equazione di Bessel modificata è un'equazione differenziale della forma
[math]x^2 y'' + x y' - (x^2 + \nu^2) y = 0[/math]
Le soluzioni sono date dalle funzioni di Bessel modificate
[math]I_{\nu}(x) = i^{-\nu} J_{\nu}(ix)[/math]
[math]K_{\nu} = \frac{\\pi [I_{-\nu}(x) - I_{\nu}(x)]}{2 \\sin(\nu \\pi)}[/math]
Equazione di Hermite
Le equazioni di Hermite sono equazioni differenziali del tipo
[math]y'' - 2xy' + 2ny = 0[/math]
e
[math]z'' - x z' + n z = 0[/math]
Soluzioni di queste equazioni sono i polinomi di Hermite, definiti da
[math]y(x) = \text{H}_n(x) = (-1)^n e^{\frac{x^2}{2}} \frac{d^n}{d x^n} (e^{-\frac{x^2}{2}}) = 2^{\frac{n}{2}} \text{He}_n(x \sqrt{2})[/math]
(soluzione della prima equazione)
[math]z(x) = \text{He}_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x^2}) = 2^{-\frac{n}{2}} \text{H}_n(\frac{x}{\sqrt{2}})[/math]
(soluzione della seconda equazione)
Equazioni di Chebyshev
Le equazioni di Chebyshev sono di due tipi, quelle del primo tipo sono della forma
[math](1 - x^2) y'' - 3 x y' + n (n+2) y = 0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]y(x) = U_n(x) = \frac{\\sin[(n+1) \text{arc\\cos}(x)]}{\sqrt{1 - x^2}}[/math]
Le equazioni del secondo tipo hanno invece la forma
[math](1 - x^2) y'' - x y' + n^2 y = 0[/math]
e le soluzioni sono
[math]y(x) = T_n(x) = \\cos(n \cdot \text{arc\\cos}(x))[/math]
Equazioni di Weber
Le equazioni di Weber sono equazioni differenziali del tipo
[math]y'' + (n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2) y = 0[/math]
Le soluzioni sono date da
[math]y(x) = W_n(x) = \text{He}_n(x) e^{-\frac{x^2}{4}}[/math]
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