Indice
- EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili
- EDO lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti (reali)
- EDO lineare omogenea di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
- EDO lineare completa di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
- Metodo della variazione delle costanti
- Equazione differenziale a variabili separabili
- Equazioni riconducibili a variabili separabili
- Equazione di Bernoulli
EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili
Un'EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili si scrive come
[math]y' = \alpha(x) y + \beta(x)[/math]
Detta
[math]A(x)[/math]
una primitiva di [math]\alpha(x)[/math]
, l'integrale generale dell'equazione è [math]y(x) = e^{A(x)} [C + \int_{x_0}^{x} e^{- A(s)} \beta(s) ds][/math]
dove [math]C[/math]
è una costante arbitraria reale.
Esempio:
determinare l'integrale generale dell'equazione
[math]y' = \cos(x) y + x e^{\sin(x)}[/math]
. Risulta [math]\int \cos(x) dx = \sin(x) + c[/math]
, quindi una generica primitiva di [math]\cos(x)[/math]
è [math]A(x) = \sin(x)[/math]
. Inoltre [math]\int e^{-\sin(x)} \cdot x \cdot e^{\sin(x)} dx = \int x dx = \frac{x^2}{2} + c[/math]
, quindi l'integrale generale dell'equazione differenziale è [math]y(x) = e^{\sin(x)} [c + \frac{x^2}{2}][/math]
EDO lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti (reali)
Un'EDO lineare omogenea del II ordine a coefficienti costanti (reali) si scrive come
[math]y'' + b y' + c y = 0[/math]
, con [math]b, c \in \mathbb{R}[/math]
- se [math]b^2 - 4c > 0[/math]
, e se [math]\lambda_1, \lambda_2[/math]
sono le soluzioni (reali) dell'equazione [math]\lambda^2 + b \lambda + c = 0[/math]
, allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è [math]y(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}[/math]
, [math]c_1[/math]
e [math]c_2[/math]
costanti arbitrarie- se
[math]b^2 - 4c = 0[/math]
, e se [math]\lambda^{ \cdot \cdot }[/math]
è la soluzione (doppia) di [math]\lambda^2 + b \lambda + c = 0[/math]
, allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è [math]y(x) = c_1 e^{\lambda^{ \cdot \cdot } x} + c_2 x e^{\lambda^{ \cdot \cdot }}[/math]
, [math]c_1[/math]
e [math]c_2[/math]
costanti arbitrarie- se
[math]b^2 - 4 c < 0[/math]
, e se [math]\lambda_1 = \alpha + i \beta[/math]
e [math]\lambda_2 = \alpha - i \beta[/math]
sono le due soluzioni complesse coniugate di [math]\lambda^2 + b \lambda + c = 0[/math]
, allora l'integrale generale dell'equazione differenziale è [math]y(x) = c_1 e^{\alpha x} \cos(\beta x) + c_2 e^{\alpha x} \sin(\beta x)[/math]
, [math]c_1[/math]
e [math]c_2[/math]
costanti arbitrarie Esempi
Deteminare l'integrale generale dell'equazione
[math]y'' - 3y' + 2 = 0[/math]
. L'equazione [math]\lambda^2 - 3 \lambda + 2 = 0[/math]
ha come soluzioni [math]\lambda_1 = 1[/math]
e [math]\lambda_2 = 2[/math]
, pertanto l'integrale generale è [math]y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x}[/math]
Determinare l'integrale generale dell'equazione [math]y'' + 3y' + \frac{9}{4}y = 0[/math]
. L'equazione [math]\lambda^2 + 3 \lambda + \frac{9}{4} = 0[/math]
ha come soluzione (doppia) [math]\lambda^{ \cdot \cdot } = -\frac{3}{2}[/math]
, quindi l'integrale generale è [math]y(x) = c_1 e^{-\frac{3}{2} x} + c_2 x e^{-\frac{3}{2} x}[/math]
Determinare l'integrale generale dell'equazione
[math]y'' + 2 y' + 8y = 0[/math]
. L'equazione [math]\lambda^2 + 2 \lambda + 8 = 0[/math]
ha come soluzioni [math]\lambda_1 = -1 + i \sqrt{7}[/math]
e [math]\lambda_2 = -1 - i \sqrt{7}[/math]
, quindi l'integrale generale è [math]y(x) = c_1 e^{-x} \cos(\sqrt{7} x) + c_2 e^{-x} \sin{\sqrt{7} x}[/math]
EDO lineare omogenea di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
Un'EDO lineare omogenea di ordine
[math]n[/math]
a coefficienti costanti (reali) si scrive come [math]a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = 0[/math]
, [math]a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}[/math]
e [math]a_n \ne 0[/math]
Il polinomio caratteristico associato all'equazione è
[math]p(\lambda) = a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + a_1 \lambda + a_0 = 0[/math]
. Il polinomio ha [math]n[/math]
radici complesse, ognuna contata con la propria molteplicità. Alle [math]n[/math]
radici sono associate [math]n[/math]
funzioni linearmente indipendenti che risolvono l'equazione differenziale.- se
[math]\lambda_i[/math]
è una radice reale con molteplicità [math]1[/math]
, la corrispondente funzione che risolve l'EDO è [math]y_i(x) = e^{\lambda_i x}[/math]
- se [math]\lambda_i = \alpha + i \beta[/math]
è una radice complessa, con molteplicità [math]1[/math]
, allora anche [math]\bar{\lambda_i} = \alpha - i \beta[/math]
è una radice complessa con molteplicità [math]1[/math]
, e le due funzioni relative a tali radici sono [math]y_{i1}(x) = e^{\alpha x} \cos(\beta x)[/math]
e [math]y_{i2}(x) = e^{\alpha x} \sin(\beta x)[/math]
- se [math]\lambda_i[/math]
è una radice reale con molteplicità [math]k[/math]
, allora le [math]k[/math]
funzioni associate che risolvono l'EDO sono [math]y_{i1} = e^{\lambda_i x} \qquad y_{i2} = x e^{\lambda_i x} \qquad \ldots \qquad y_{ik}(x) = x^{k-1} e^{\lambda_i x}[/math]
- se [math]\lambda_i = \alpha + i \beta[/math]
è una radice complessa con molteplicità [math]k[/math]
, allora anche [math]\bar{\lambda_i} = \alpha - i \beta[/math]
è una radice complessa con molteplicità [math]k[/math]
, e le [math]2k[/math]
funzioni associate a tali radici sono [math]y_{11}(x) = e^{\alpha x} \cos(\beta x), y_{12}(x) = e^{\alpha x} \sin(\beta x)[/math]
[math]y_{21}(x) = x e^{\alpha x} \cos(\beta x), y_{22}(x) = x e^{\alpha x} \sin(\beta x)[/math]
[math]v\dots[/math]
[math]y_{k1}(x) = x^{k-1} e^{\alpha x} \cos(\beta x), y_{k2}(x) = x^{k-1} e^{\alpha x} \sin(\beta x)[/math]
Con questa casistica si riescono a trovare
[math]n[/math]
soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea, [math]y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)[/math]
; l'integrale generale è una combinazione lineare di queste funzioni [math]y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + \ldots + c_n y_n(x)[/math]
, [math]c_1, c_2, \ldots, c_n \in \mathbb{R}[/math]
Esempio:
determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale[math]y''' - y'' + 4 y' - 4 = 0[/math]
. Il polinomio caratteristico è [math]p(\lambda) = \lambda^3 - \lambda^2 + 4 \lambda - 4 = (\lambda - 1) (\lambda^2 + 4)[/math]
Le radici del polinomio caratteristico sono
[math]\lambda_1 = 1[/math]
, [math]\lambda_2 = 2 i[/math]
, [math]\lambda_3 = - 2 i[/math]
, e le funzioni associate che risolvono l'omogenea sono [math]y_1(x) = e^x \qquad y_2(x) = \cos(2x) \qquad y_3(x) = \sin(2x)[/math]
quindi l'integrale generale cercato è [math]y_{\text{om}}(x) = c_1 e^x + c_2 \cos(2x) + c_3 \sin(2x)[/math]
, [math]c_1, c_2, c_3[/math]
costanti arbitrarie
EDO lineare completa di ordine [math]n[/math] a coefficienti costanti (reali)
Un'EDO lineare completa di ordine
[math]n[/math]
a coefficienti costanti (reali) si scrive come [math]a_n y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 y' + a_0 y = f(x)[/math]
, [math]a_0, a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}[/math]
e [math]a_n \ne 0[/math]
Se
[math]y_{\text{om}}(x)[/math]
è l'integrale generale dell'omogenea associata, e [math]y_{\text{p}}[/math]
è una soluzione della completa, allora l'integrale generale della completa è [math]y(x) = y_{\text{om}}(x) + y_{\text{p}}(x)[/math]
Metodo della variazione delle costanti
Questo metodo serve a trovare una soluzione particolare di una EDO lineare completa di ordine
[math]n[/math]
a coefficienti costanti. Se [math]y_1(x), y_2(x), \ldots, y_n(x)[/math]
(definite su un intervallo [math]I \subseteq \mathbb{R}[/math]
) sono [math]n[/math]
soluzioni linearmente indipendenti dell'omogenea, si consideri la matrice [math]W(x) = [(y_1(x), \quad y_2(x), \quad \ldots, \quad y_n(x)),(y_1'(x), \quad y_2'(x), \quad \ldots, \quad y_n'(x)),(\vdots, \quad \vdots, \quad \ddots, \quad \vdots),(y_1^{(n-1)}(x), \quad y_2^{(n-1)}(x), \quad \ldots, \quad y_n^{(n-1)}(x))][/math]
e il vettore [math]F(x) = ((0),(0),(\vdots),(0),(f(x)))[/math]
Poniamo
[math]C'(x) = ((c_1'(x)),(c_2'(x)),(\vdots),(c_n'(x))) = W^{-1}(x) F(x)[/math]
Fissato
[math]x_0 \in I[/math]
, e posto [math]c_i(x) = \int_{x_0}^x c_i'(x) dx[/math]
, per [math]i = 1, 2, \ldots, n[/math]
, una soluzione particolare della completa è [math]y_{\text{p}}(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x) + \ldots + c_n(x) y_n(x)[/math]
e l'integrale generale della completa è [math]y(x) = (c_1(x) + k_1) y_1(x) + (c_2(x) + k_2) y_2(x) + \ldots + (c_n(x) + k_n) y_n(x)[/math]
, con [math]k_1, k_2, \ldots, k_n[/math]
costanti arbitrarie
Esempio:
risolvere l'equazione differenziale
[math]y'' + y = \frac{1}{\\sin(x)}[/math]
. L'equazione omogenea è [math]y'' + y = 0[/math]
, il polinomio caratteristico è [math]p(\lambda) = \lambda^2 + 1 = 0[/math]
, le cui radici sono [math]\lambda_{1,2} = \\pm i[/math]
. Le funzioni associate a tali radici sono [math]y_1(x) = \cos(x)[/math]
e [math]y_2(x) = \sin(x)[/math]
, e l'integrale generale dell'omogenea è [math]y_{\text{om}}(x) = k_1 \cos(x) + k_2 \sin(x)[/math]
.
[math]y_1(x) = \cos(x) \qquad y_1'(x) = -\sin(x)[/math]
[math]y_2(x) = \sin(x) \qquad y_2'(x) = \cos(x)[/math]
La matrice
[math]W[/math]
e il vettore [math]F[/math]
risultano pari a [math]W(x) = [(\cos(x), \quad \sin(x)),(-\sin(x), \quad \cos(x))] \qquad F(x) = ((0),(\frac{1}{\sin(x)}))[/math]
L'inversa della matrice
[math]W[/math]
è [math]W^{-1}(x) = 1 \cdot [(\cos(x), \quad -\sin(x)),(\sin(x), \quad \cos(x))][/math]
quindi [math]W^{-1}(x) F(x) = [(\cos(x), \quad \sin(x)),(-\sin(x), \quad \cos(x))] ((0),(\frac{1}{\sin(x)})) = ((-1),(\text{cotg}(x)))[/math]
[math]c_1'(x) = -1[/math]
, [math]c_1(x)= \int_{x_0}^x (-1) dx = x_0 - x[/math]
[math]c_2'(x) = \text{cotg}(x)[/math]
, [math]c_2(x) = \int_{x_0}^x \text{cotg}(x) dx = ln(|\\sin(x)|) - ln(|\sin(x_0)|)[/math]
Quindi una soluzione particolare della completa è
[math]y_{\text{p}}(x) = c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x) \implies y_{\text{p}}(x) = (x_0 - x) \cos(x) + (ln(|\sin(x)|) - ln(|\sin(x_0)|)) \sin(x)[/math]
e l'integrale generale della completa è [math]y(x) = y_{\text{om}}(x) + y_{\text{p}}(x) \implies y(x) = k_1 \cos(x) + k_2 \sin(x) + (x_0 - x) \cos(x) + (\ln(|\sin(x)|) - \ln(|\sin(x_0)|)) \sin(x)[/math]
([math]x \in (0, \pi)[/math]
per l'esistenza del logaritmo) che equivale a [math]y(x) = k_1 \cos(x) + k_2 \sin(x) - x \cos(x) + \ln(|\sin(x)|) \sin(x)[/math]
data l'arbitrarietà delle costanti [math]k_1[/math]
e [math]k_2[/math]
.
Equazione differenziale a variabili separabili
Un'equazione differenziale a variabili separabili è un'equazione differenziale del I ordine del tipo
[math]y' = g(x) h(y)[/math]
Le soluzioni si determinano studiando questi due casi:
- tutte le funzioni costanti
[math]y \equiv y_0[/math]
, tali che [math]h(y_0) = 0[/math]
, sono soluzioni dell'equazione differenziale- se
[math]H(y)[/math]
è una primitiva di [math]\frac{1}{h(y)}[/math]
e [math]G(x)[/math]
è una primitiva di [math]g(x)[/math]
, le funzioni definite implicitamente da [math]H(y) = G(x) + C[/math]
, al variare di [math]C \in \mathbb{R}[/math]
, sono soluzioni dell'equazione differenziale. In particolare, se [math]H[/math]
è iniettiva tali funzioni si scrivono come [math]y(x) = H^{-1}(G(x) + C)[/math]
.
Esempio:
Risolvere l'equazione[math]y' = x y^2[/math]
. Dato che [math]y^2 = 0 \implies y = 0[/math]
, allora la funzione costante [math]y \equiv 0[/math]
è soluzione dell'equazione differenziale. Dividendo per [math]y^2[/math]
si ottiene [math]\frac{y'}{y^2} = x[/math]
, e integrando ambo i membri [math]\int \frac{y'}{y^2} dx = - \frac{1}{y} + c_1[/math]
, [math]\int x dx = \frac{x^2}{2} + c_2[/math]
. Da [math]-\frac{1}{y} + c_1 = \frac{x^2}{2} + c_2[/math]
segue [math]y(x) = \frac{1}{\frac{x^2}{2} + c}[/math]
(dove si è posto [math]c = c_2 - c_1[/math]
) e, assieme alla soluzione costante [math]y equiv 0[/math]
, rappresenta la soluzione dell'equazione differenziale.
Equazioni riconducibili a variabili separabili
1° caso
[math]y' = f(ax + by)[/math]
, [math]a, b \ne 0[/math]
Sostituzione [math]z(x) = a x + b y(x)[/math]
, da cui [math]z'(x) = a + b y'(x)[/math]
, ottenendo [math]z' = a + b f(z)[/math]
che è a variabili separbili con [math]g(x) = 1[/math]
, [math]h(z) = a + b f(z)[/math]
.
Esempio
Risolvere l'equazione differenziale[math]y' = (x + y)^2 - (x + y) - 1[/math]
. Ponendo [math]z = x + y[/math]
, e osservando che [math]z' = 1 + y'[/math]
, si ottiene [math]z' = 1 + y' \implies z' = 1 + (x+y)^2 - (x + y) - 1 \implies z' = z^2 - z[/math]
Questa è un'equazione a variabili separabili, le cui soluzioni costanti sono [math]z \equiv 0[/math]
, da cui segue [math]y = -x[/math]
, e [math]z \equiv 1[/math]
da cui segue [math]y = 1 - x[/math]
. Per trovare le altre soluzioni, si divide ambo i membri per [math]z^2 - z[/math]
, ottenendo [math]\frac{z'}{z^2 - z} = 1[/math]
. Integrando ambo i membri si trova [math]\ln(|1 - \frac{1}{z}|) = x + c \implies |1 - \frac{1}{z}| = e^c \cdot e^x = k \cdot e^x[/math]
, con [math]c \in \mathbb{R}[/math]
e [math]k \in \mathbb{R}^+[/math]
. Togliendo il valore assoluto (visto che [math]k e^x \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}[/math]
) e risolvendo rispetto a [math]z[/math]
si trova [math]z(x) = \frac{1}{1 - k e^x}[/math]
da cui [math]y(x) = \frac{1}{1 - k e^x} - x[/math]
2° caso
[math]y' = f(frac{y}{x})[/math]
Sostituzione [math]z(x) = \frac{y(x)}{x}[/math]
, da cui [math]x \cdot z(x) = y(x)[/math]
e [math]z + x z' = y'[/math]
, ottenendo [math]z' = \frac{1}{x} (f(z) - z)[/math]
che è a variabili separabili con [math]g(x) = \frac{1}{x}[/math]
e [math]h(z) = f(z) - z[/math]
. Esempio:
Risolvere dell'equazione
[math]y' = \frac{4y}{3x} - \frac{8 x^2}{3 y^2}[/math]
. Ponendo [math]z = \frac{y}{x}[/math]
, da cui [math]y = x \cdot z[/math]
e [math]y' = z + x \cdot z'[/math]
, si ottiene [math]y' = z' x + z \implies z' x = y' -z \implies z' x = \frac{4}{3} z - \frac{8}{3} z^{-2} - z = \frac{z^3 - 8}{3 z^2}[/math]
da cui [math]\frac{3 z^2}{z^3 - 8} z' = \frac{1}{x}[/math]
L'unica soluzione costante è
[math]z \equiv 2[/math]
, a cui corrisponde [math]y(x) = 2x[/math]
. Integrando ambo i membri si ottiene [math]\int \frac{1}{x} dx = \ln(|x|) + c_1[/math]
, [math]c_1 \in \mathbb{R}[/math]
, [math]\int \frac{3 z^2}{z^3 - 8} z' dx = \ln(|z^3 - 8|) + c_2[/math]
, [math]c_2 \in \mathbb{R}[/math]
Posto
[math]c = c_1 - c_2[/math]
, uguagliando i risultati, e ricordando che [math]z = \frac{y}{x}[/math]
, si ottiene [math]\ln(|\frac{y^3(x)}{x^3} - 8|) = \ln(|x|) + c[/math]
da cui [math]\left| \frac{y^3(x)}{x^3} - 8 \right| = e^{\ln(|x|)} \cdot e^c \implies \frac{y^3(x)}{x^3} - 8 = k \cdot |x| \implies y(x) = x \cdot \sqrt[3]{k |x| + 8}[/math]
dove si è posto, per comodità, [math]k = e^c[/math]
.
3° caso
[math]y' = f(\frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2})[/math]
, con [math]a_1 b_2 \ne a_2 b_1[/math]
Detta [math](x_0, y_0)[/math]
la soluzione del sistema [math]{(a_1 x + b_1 y + c_1 = 0),(a_2 x + b_2 y + c_2 = 0):}[/math]
si opera la sostituzione [math]x = u + x_0[/math]
, [math]y = v + y_0[/math]
, da cui [math]\frac{a_1 x + b_1 y + c_1}{a_2 x + b_2 y + c_2} = \frac{a_1 u + b_1 v}{a_2 u + b_2 v} = \frac{a_1 + b_1 \frac{v}{u}}{a_2 + b_2 \frac{v}{u}}[/math]
, ottenendo [math]v' = f(\frac{a_1 + b_1 \frac{v}{u}}{a_2 + b_2 \frac{v}{u}})[/math]
che diventa a variabili separabili con la sostituzione [math]z(u) = \frac{v(u)}{u}[/math]
, come nel caso precedente.
Esempio:
Risolvere
[math]y' = \frac{y - x - 2}{y + x}[/math]
. Le rette di equazione [math]y - x - 2 = 0[/math]
e [math]y + x = 0[/math]
si intersecano nel punto [math](x,y) = (-1,1)[/math]
, quindi conviene fare la trasformazione [math]{(u = x + 1),(v = y - 1):} \implies {(x = u - 1),(y = v + 1):}[/math]
[math]v(u) = y(x) - 1 \implies v(u) = y(u - 1) - 1[/math]
, derivando si ottiene [math]y' = v'[/math]
, da cui [math]v' = \frac{v + 1 - u + 1 - 2}{v + 1 + u - 1} \implies v' = \frac{v - u}{v + u} \implies v = \frac{\frac{v}{u} - 1}{\frac{v}{u} + 1}[/math]
Ponendo
[math]z(u) = \frac{v(u)}{u}[/math]
, da cui [math]v(u) = u \cdot z(u) \implies v' = z' + u z[/math]
, si ottiene [math]z' u = v' - z \implies z' u = \frac{z-1}{z+1} - z \implies z' u = \frac{-z^2 - 1}{z+1} \implies \frac{z+1}{z^2 + 1} z' = -\frac{1}{u}[/math]
Integrando ambo i membri si trova
[math]\frac{1}{2} \ln(z^2 + 1) + \arctan(z) = - \ln(|u|) + c[/math]
, [math]c[/math]
costante arbitraria e ricordando le sostituzioni [math]z = \frac{v}{u} = \frac{y-1}{x+1}[/math]
si arriva a [math]\frac{1}{2} \ln((\frac{y-1}{x+1})^2 + 1) + \arctan(\frac{y-1}{x+1}) = - \ln(|x+1|) + c[/math]
, [math]c[/math]
costante arbitraria
Tutte le funzioni
[math]y = y(x)[/math]
definite implicitamente dalla relazione precedente soddisfano l'equazione differenziale.Equazione di Bernoulli
Un'equazione di Bernoulli è un'equazione differenziale del tipo
[math]y' = \alpha(x) y + \beta(x) y^s[/math]
, con [math]s \ne 0[/math]
e [math]s \ne 1[/math]
Sostituzione
[math]z(x) = y^{1-s}(x)[/math]
, da cui e [math]z'(x) = (1 - s) y^{-s}(x) y'(x)[/math]
, ottenendo così [math]z'(x) = (1 - s) y^{-s}(x) [\alpha(x) y + \beta(x) y^s(x)] \implies z' = (1 - s) \alpha(x) z + (1 - s) \beta(x)[/math]
che è un'EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili. Esempio:
Risolvere l'equazione differenziale
[math]y' = 2 \tan(x) y + 2 \sqrt{y}[/math]
, con [math]y \ge 0[/math]
e [math]x \ne \frac{\pi}{2} + k \pi[/math]
, [math]k \in \mathbb{Z}[/math]
. Ponendo [math]z = y^{1 - \frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}[/math]
si ottiene [math]z' = \frac{1}{2 \sqrt{y}} y'[/math]
e l'equazione diventa [math]z' = \frac{1}{2 \sqrt{y}} [2 \tan(x) y + 2 \sqrt{y}] \implies z' = \tan(x) \sqrt{y} + 1 \implies z' = \tan(x) z + 1[/math]
Questa è una EDO del I ordine, con
[math]\alpha(x) = \tan(x)[/math]
, [math]\beta(x) = 1[/math]
. Integrandola con la formula generaleper le EDO lineari del I ordine si trova [math]z(x) = \frac{c}{|\cos(x)|} + \tan(x)[/math]
e ricordando che [math]y(x) = z^2(x)[/math]
si ottiene [math]y(x) = (\frac{C}{|\cos(x)|} + \tan(x))^2[/math]
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