Definizione di continuità

di _stan

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Definizioni di funzione continua
Esempi di funzioni continue e non continue

Definizioni di funzione continua

Definizione di funzione continua in un punto secondo Weierstrass

Sia

[math] \displaystyle f(x) [/math]

una funzione di dominio

[math] \displaystyle D \subset \mathbb{R} [/math]

, e sia

[math] \displaystyle c \in D [/math]

. Nel caso in cui

[math] \displaystyle c [/math]

è un punto di accumulazione di

[math] \displaystyle D [/math]

, diremo che la funzione

[math] \displaystyle f(x) [/math]

è continua in

[math] \displaystyle c [/math]

qualora risulti

[math] \displaystyle \begin{equation}\lim{x \rightarrow c} f(x) = f(c) \, \, \, \, \, \text{(1)}\end{equation}[/math]

[math] \displaystyle c [/math]

è un punto isolato di

[math] \displaystyle D [/math]

, diremo che

[math] \displaystyle f(x) [/math]

è continua in

[math] \displaystyle c [/math]

, senza ulteriori richieste sulla funzione.

Definizione di funzione discontinua in un punto
Se una funzione

[math] \displaystyle f(x) [/math]

non continua in

[math] \displaystyle c [/math]

, allora essa viene detta discontinua in

[math] \displaystyle c [/math]

Definizione di funzione continua
Se una funzione

[math] \displaystyle f(x) [/math]

è continua

[math] \displaystyle \forall c \in D [/math]

, allora la si definisce continua.

Definizione di funzione continua in un punto secondo Cauchy
Sia data una funzione

[math] \displaystyle f(x) [/math]

di dominio

[math] \displaystyle D [/math]

, e sia

[math] \displaystyle c [/math]

un punto di accumulazione per

[math] \displaystyle D [/math]

(non deve necessariamente risultare

[math] \displaystyle c \in D [/math]

Diremo allora che

[math] \displaystyle f(x) [/math]

è continua in

[math] \displaystyle c [/math]

se per ogni

[math] \displaystyle \epsilon \gt 0 [/math]

esiste un

[math] \displaystyle \delta \gt 0 [/math]

tale che, se

[math] \displaystyle |x -c| \lt \delta [/math]

, allora

[math] \displaystyle |f(x) - f(c)| \lt \epsilon [/math]

. In formule,

[math] \displaystyle \begin{equation}\forall\epsilon\gt 0 \exists\delta\gt 0: |x-c| \lt \delta \rightarrow |f(x) - f(c)| \lt \epsilon \, \, \, \, \, \text{(2)}\end{equation} [/math]

Osservazione

Affinché la relazione

[math] (1) [/math]

sia verificata necessario che la funzione

[math] \displaystyle f [/math]

assuma un valore in

[math] \displaystyle x = c [/math]

, ed è per questo che abbiamo richiesto

[math] \displaystyle c \in D [/math]

. Inoltre, si deve poter considerare il limite di

[math] \displaystyle f(x) [/math]

per

[math] \displaystyle x \rightarrow c [/math]

, e quindi deve esistere una successione di punti di

[math] \displaystyle D [/math]

che tende a

[math] \displaystyle c [/math]

: ciò è equivalente a richiedere che

[math] \displaystyle c [/math]

sia un punto di accumulazione per

[math] \displaystyle D [/math]

. Infine, nella

[math] \text{(1)} [/math]

si richiede l'uguaglianza tra il valore trovato come limite e quello della funzione in

[math] \displaystyle c [/math]

, fatto questo non scontato.

Osservazione

La definizione di Cauchy, che appare più difficile da capire di quella di Weierstrass, è stata creata molto tempo prima ed è in realtà ad essa del tutto equivalente. La

[math] \text{(2)} [/math]

afferma, in termini più chiari, che una funzione è continua se, e soltanto se, comunque si scelga una distanza

[math] \epsilon [/math]

è possibile trovare una distanza [maht] \delta [/math] tale che se

[math] \displaystyle x [/math]

non dista da

[math] \displaystyle c [/math]

più di

[math] \displaystyle \delta [/math]

allora

[math] \displaystyle f(x) [/math]

non dista da

[math] \displaystyle f(c) [/math]

più di

[math] \displaystyle \epsilon [/math]

. Ci lo stesso che dire che punti vicini hanno immagini vicine; quanto vicino sia considerabile abbastanza determinato dai valori di (\epsilon) e

[math] \displaystyle \delta [/math]

Esempi di funzioni continue e non continue

Esempio 1

: Parabola.

Il grafico rappresentato nell'immagine seguente quello di un ramo della parabola di equazione

[math] y = x^2 [/math]

, il cui dominio è

[math] D = \mathbb{R} [/math]

e che è continua in ogni punto. Verifichiamo ad esempio che essa è continua nel punto

[math] \displaystyle c = 2 [/math]

[math]\lim{x \rightarrow 2} f(x) = \lim{x \rightarrow 2} x^2 = 4 = 2^2 = f(2) [/math]

Definizione di continuità articolo

Esempio 2: Funzione polinomiale.

La proprietà vista nell'esempio precedente non è esclusiva della parabola. Tutte le funzioni polinomiali, cioè esprimibili nella forma

[math] \displaystyle y = p(x) [/math]

dove

[math] \displaystyle p(x) [/math]

è un polinomio nell'indeterminata

[math] \displaystyle x [/math]

, sono definite su tutto

[math] \displaystyle \mathbb{R} [/math]

e ivi continue. In particolare abbiamo che tutte le funzioni costanti, ovvero quelle del tipo

[math] \displaystyle y = k, k \in \mathbb{R} [/math]

, ed anche tutte le rette sono funzioni continue.

Esempio 3: Funzione discontinua con limiti infiniti.

Il prossimo grafico rappresenta la funzione

[math] \displaystyle y = 1/x [/math]

, cioè un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. Il suo insieme di definizione

[math] \displaystyle D = \mathbb{R} - {0} [/math]

, quindi per forza di cose essa è discontinua nel punto

[math] \displaystyle c = 0 [/math]

. D'altra parte, si ha che

[math] \displaystyle \lim{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty \text{ , } \lim{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty [/math]

cosicché la

[math] \label{(1)} [/math]

non è verificata in due modi:

[math] \displaystyle c [/math]

non appartiene al dominio e non esiste il limite per

[math] \displaystyle x \rightarrow c [/math]

, visto che i limiti sinistro e destro non coincidono. In tutti i punti che appartengono a

[math] \displaystyle D [/math]

la funzione è invece continua.
Se esaminiamo la validità della definizione di continuità in un punto secondo Cauchy con

[math] \displaystyle c = 0 [/math]

, osserviamo che indipendentemente da quanto stretto attorno allo 0 si scelga un intervallo, esso conterrà sempre punti le cui immagini sono distanti a piacere. Quindi l'iperbole equilatera discontinua in 0 anche secondo Cauchy.

Definizione di continuità articolo

Esempio 4: Funzione discontinua con limiti finiti.

Nell'immagine che segue è rappresentato il grafico della funzione

[math] \displaystyle y = \frac{x\cos x}{|x|} [/math]

. Si prova con facilità che la funzione in esame non è continua in

[math] \displaystyle c = 0 [/math]

, dal momento che

[math] \displaystyle \lim{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x\cos x}{|x|} = -1 \text{ , } \lim{x\rightarrow 0^{+}} \frac{x\cos x}{|x|} = +1 [/math]

e dunque non esiste il limite richiesto dalla [math] \text{(1)}), perché come nell'esempio precedente i limiti sinistro e destro non coincidono, anche se in questo caso essi sono finiti.

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Osservazione

Dagli esempi precedenti emerge un'osservazione che può spesso aiutare nello studio delle funzioni continue, e cioè che una funzione è continua se e solo se il suo grafico può essere disegnato senza mai alzare la matita dal foglio; si tenga per conto che questo modo di vedere la definizione di continuità non è rigoroso e può trarre in inganno.

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