Continuità delle funzioni goniometriche

Continuità di sen x e cos x

Le funzioni sen x e cos x sono continue per ogni x reale, quindi possiamo scrivere:

Esempio: Calcoliamo il limite:

Sappiamo che il limite del prodotto di funzioni uguale al prodotto di dei limiti delle funzioni stesse, quindi:

E, poiché tutte le funzioni che compaiono sono continue, il limite per

di ciascuna funzione equivale al valore che la funzione stessa assume per :

Di conseguenza, il limite di partenza dato da:

Continuità delle funzioni tg x e ctg x

Abbiamo appena visto che le funzioni sen x e cos x sono continue per ogni x reale; sappiamo, inoltre, che se due funzioni sono continue in un certo intervallo I, anche il loro rapporto è una funzione continua in I, nei punti che non annullano il denominatore della frazione.

Con queste premesse, possiamo affermare che anche la funzione tangente, che è data dal rapporto di sen x e cos x, è una funzione continua in tutto R, esclusi i valori che annullano cos x; è quindi, una funzione continua nel suo dominio:

Un discorso analogo può essere fatto per la funzione cotangente, in quanto rapporto di cos x e sen x; anch'essa è continua in tutto il suo dominio, cioé in R tranne i valori che annullano sen x:

Continuità del valore assoluto di una funzione

Il limite del valore assoluto di una funzione equivale al valore assoluto del limite della funzione stessa.

Quindi, se una funzione f(x) è continua in un punto c, o in un intervallo I, anche la funzione valore assoluto, di equazione y = |f(x)| è continua in c, o in I, infatti, si ha che:

Limite e continuità della radice di una funzione

Teorema: Se una funzione f(x) tende ad un limite l, maggiore di zero, allora la funzione radice ennesima di f(x) tende alla radice ennesima di l, per ogni n positivo:

Nel caso, invece, in cui il limite l sia negativo, il teorema valido solo nel caso in cui n sia dispari.

Esempio: Calcoliamo il limite della seguente funzione, per x che tende a 1, per difetto:

Sappiamo che il limite di una radice quarta equivale alla radice quarta del limite del radicando, quindi abbiamo che:

Il radicando è un polinomio in x, ed è quindi una funzione continua; sappiamo che, nel caso di funzioni continue, il limite per x che tende ad un valore finito coincide con il valore che la funzione assume nel punto, quindi abbiamo che:

Notiamo che, è possibile calcolare il limite della funzione in quanto, poiché il radicando della funzione risulta maggiore o uguale a zero per valori di x tali che

risulta maggiore di zero in un intorno sinistro di 1.

A questo punto, possiamo concludere che la funzione di partenza tende proprio a zero, in quanto la radice quarta di zero è zero:

Se volessimo determinare l'insieme di continuità della funzione precedente, non dobbiamo far altro che determinare il dominio della funzione; infatti, sappiamo che il radicando, essendo un polinomio, una funzione continua per ogni x, mentre la funzione radice quarta una funzione continua per ogni x appartenente al dominio.

Calcoliamo quindi il dominio della funzione:

La funzione, quindi, risulta essere continua per ogni x appartenente all'intervallo [ -1; 1 ] .